Omezená množina

Pojem omezená množina lze definovat pro množiny reálných čísel nebo obecněji pro metrické prostory. Na reálných číslech, které jsou zároveň metrickým prostorem, jsou obě definice ekvivalentní.

Definice pro reálná čísla

Množinu ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ označíme jako omezenou (ohraničenou) shora, existuje-li takové číslo ${\displaystyle a}$, že pro všechna ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle x<a}$.

Existuje-li takové číslo ${\displaystyle a}$, že pro všechna ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle x>a}$, pak množinu ${\displaystyle A}$ označíme jako omezenou (ohraničenou) zdola.

Množina ${\displaystyle A}$, která je současně omezená zdola i shora, je omezená (ohraničená).

Definice v metrických prostorech

Je-li ${\displaystyle (M,\rho )\,\!}$ metrický prostor, pak množinu ${\displaystyle A\subseteq M\,\!}$ nazveme omezenou, pokud existuje ${\displaystyle x\in M\,\!}$ a reálné číslo ${\displaystyle r\in \mathbb {R} \,\!}$ takové, že pro každé ${\displaystyle y\in A\,\!}$ je ${\displaystyle \rho (x,y)<r\,\!}$

Na rozdíl od pojmu uzavřená množina, který není absolutní (tentýž metrický prostor může být uzavřený v jednom svém nadprostoru a neuzavřený v jiném), omezenost je absolutní pojem.

Totálně omezený metrický prostor je vždy omezený, opačně to však neplatí.

Omezená posloupnost

Posloupnost je omezená, pokud množina hodnot, kterých posloupnost nabývá, je omezená. Například posloupnost

${\displaystyle \left\{{{1} \over {n}}\right\}_{n}=1,\,{{1} \over {2}},\,{{1} \over {3}},\,{{1} \over {4}},\,{{1} \over {5}},\,\dots \,\!}$

je omezená; příklad neomezné posloupnosti je ${\displaystyle \{{\sqrt {n}}\}_{n}\,\!}$ nebo posloupnost

${\displaystyle \{n!\}_{n}=1,2,6,24,120,720\dots \,\!}$

Související články

• Omezená funkce

Zdroj