Nilradikál okruhu

Nilradikál je pojem z oboru komutativní algebry. Jedná se o ideál v komutativním okruhu složený ze všech nilpotentních prvků. Alternativně může být definován jako radikál nulového ideálu.^[1] Odtud plyne značení ${\displaystyle {\sqrt {(0)}}}$.

Vlastnosti

• Nilradikál je ideálem, protože máme-li prvky ${\displaystyle a,x,y\in R}$ takové, že ${\displaystyle x^{n}=0}$ a ${\displaystyle y^{m}=0}$, pak i ${\displaystyle (x+y)^{m+n-1}=0}$ a ${\displaystyle (ax)^{n}=0}$.
• Nilradikál je roven průniku všech prvoideálů,^[1] což lze dokázat pomocí principu maximality.
• Okruh je složený ze samých nilpotentních prvků a jednotek právě tehdy, když je faktorokruh podle nilradikálu komutativním tělesem.

Příklady

• V okruhu modulární aritmetiky ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$ je nilradikál tvořen prvky ${\displaystyle {0,2,4,6}}$.
• V okruhu ${\displaystyle \mathbb {Z} /36\mathbb {Z} }$ jsou dva prvoideály, totiž hlavní ideály ${\displaystyle (2)}$ a ${\displaystyle (3)}$. Jejich průnikem je ideál ${\displaystyle (6)={0,6,12,18,24,30}}$, který je nilradikálem, ale není prvoideálem.
• V okruhu mnohočlenů s proměnnými ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ nad okruhem ${\displaystyle R}$ je nilradikál tvořen těmi mnohočleny, které mají všechny koeficienty nilpotentní.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Nilradykał na polské Wikipedii.

Zdroj