Logaritmicko-normální rozdělení

Logaritmicko-normální rozdělení (také log-normální rozdělení) s parametry ${\displaystyle \mu }$ a ${\displaystyle \sigma }$, označované ${\displaystyle LN(\mu ,\sigma )}$, je spojité rozdělení pravděpodobnosti jednorozměrné reálné náhodné veličiny ${\displaystyle X}$ takové, že náhodná veličina ${\displaystyle \ln(X)}$ má normální rozdělení se střední hodnotou ${\displaystyle \mu }$ a směrodatnou odchylkou ${\displaystyle \sigma }$.

Hustota pravděpodobnosti

Hustota pravděpodobnosti logaritmicko-normálního rozdělení má tvar:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},\ \ x>0}$

Charakteristiky

Střední hodnota logaritmicko-normálního rozdělení je

${\displaystyle E(x)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$

Rozdělení má rozptyl

${\displaystyle D(x)=(e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$

Medián je roven

${\displaystyle x_{0,5}=e^{\mu }}$

Koeficient šikmosti je

${\displaystyle \gamma _{1}=(e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}$

Tříparametrické logaritmicko-normální rozdělení

Tříparametrické logaritmicko-normální rozdělení obsahuje navíc parametr posunu ${\displaystyle \lambda }$; platí, že náhodná veličina ${\displaystyle \ln(X-\lambda )}$ má normální rozdělení se střední hodnotou ${\displaystyle \mu }$ a směrodatnou odchylkou ${\displaystyle \sigma }$.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Logaritmicko-normální rozdělení na Wikimedia Commons
• Online kalkulátor Logaritmicko-normální rozdělení

Zdroj