Lineární funkcionál

Lineární funkcionál nebo lineární forma je v matematice lineární zobrazení z množiny vektorů daného vektorového prostoru do množiny jeho skalárů. Jedná se tedy o funkcionál, který je zároveň lineární.

Definice

Nechť ${\displaystyle V}$ je vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle T}$. Zobrazení ${\displaystyle f:V\to T}$ sa nazývá lineární funkcionál, pokud jde o zobrazení do tělesa, které je zároveň lineární, tj.:

1. ${\displaystyle \forall x\in V\!:f(x)\in T,}$
2. ${\displaystyle \forall x,y\in V\!:f(x+y)=f(x)+f(y),}$
3. ${\displaystyle \forall x\in V\ \forall \alpha \in T\!:f(\alpha \cdot x)=\alpha f(x).}$

Podmínky 2., 3. můžeme ekvivalentně přepsat do podmínky

${\displaystyle \forall x,y\in V\ \forall \alpha ,\beta \in T\!:f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)=\alpha f(x)+\beta f(y).}$

Uvedenou definici můžeme přeformulovat tak, že ${\displaystyle f}$ je lineární zobrazení z ${\displaystyle V}$ do ${\displaystyle T}$.

1. ${\displaystyle \forall x\in V\!:f(x)\in T,}$
2. ${\displaystyle \forall x,y\in V\ \forall \alpha ,\beta \in T\!:f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)=\alpha f(x)+\beta f(y).}$

Příklad

Lineární funkcionály v Rⁿ

Uvažujme o euklidovském prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Předpokládejme, že vektory prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jsou reprezentované jako sloupcové vektory typu

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}.}$

Potom každý lineární funkcionál možno zapsat ve tvaru

${\displaystyle f(x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}.}$

Předchádzející výraz je možno ekvivalentně zapsat jako maticový součin

${\displaystyle f(x)=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\cdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}.}$

Lineární funkcionály na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mohou být tudíž reprezentovány jako ${\displaystyle n}$-rozměrné řádkové vektory ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$.

Externí odkazy

• Definice lineárního funkcionálu na Wolfram MathWorld
• stránky Lubomíry Dvořákové týkající se lineární algebry

Zdroj