Laplaceův operátor

Laplaceův operátor je diferenciální operátor definovaný jako divergence gradientu skalárního, nebo obecně tenzorového pole nazvaný podle Pierre-Simona Laplace. Je-li aplikován na skalární pole, výsledkem je skalární pole, je-li aplikován na tenzorové pole, výsledkem je tenzorové pole stejného řádu. Značí se symbolem ${\displaystyle \Delta }$.

Definice

Laplaceův operátor je definován jako působení skalárního součinu operátorů nabla na funkci ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$:

${\displaystyle \Delta f=\mathrm {div} \,\mathrm {grad} \,\ f=\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$.

V ${\displaystyle n}$-rozměrném prostoru lze Laplaceův operátor vyjádřit působením operátoru delta na funkci ${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$:

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}}$.

Obecně pro ${\displaystyle p>1}$ se diferenciální operátor ${\displaystyle \Delta _{p}u=\nabla \cdot (||\nabla u||^{p-2}\nabla u)}$ nazývá p-Laplacián. Pro ${\displaystyle p=2}$ se p-Laplacián redukuje na klasický Laplaceův operátor.

d'Alembertův operátor

Speciálním případem Laplaceova operátoru je d'Alembertův diferenciální operátor (nazvaný podle Jeana le Rond d'Alemberta) pro čtyřrozměrný Minkowského prostor ve speciální teorii relativity při popisu dějů v prostoročasu či v relativistické formulaci kvantové teorie (viz Kleinova–Gordonova rovnice).

d'Alembertův operátor v kartézských souřadnicích je ve tvaru:

${\displaystyle \square f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{1})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{2})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{3})^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{0})^{2}}}}$

nebo speciálně za použití souřadnic ${\displaystyle x,y,z,ct}$ ve tvaru:

${\displaystyle \square f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}}}$.

V látkovém prostředí se někdy používá definice

${\displaystyle \square f=\Delta f-\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}}=\Delta f-{\frac {N^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}}}$,

kde ${\displaystyle \mu ,\varepsilon }$ jsou permeabilita a permitivita daného materiálu a ${\displaystyle N}$ je jeho index lomu.

Značí se značkou ${\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}}$ ^{[pozn. 1]}.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Je-li ${\displaystyle f}$ skalární pole v daných souřadnicích, pak platí:

Ve válcových souřadnicích:

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}}$.

Ve sférických souřadnicích:

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}$

nebo ekvivalentně:

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}$.

V obecných ortogonálních souřadnicích má gradient s využitím Laméových koeficientů ${\displaystyle h_{1}}$,${\displaystyle h_{2}}$,${\displaystyle h_{3}}$ tvar:

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\right)\right)}$.

Laplaceův operátor je invariantní vůči transformaci souřadnic.

Užití

• Poissonova rovnice
• Vlnová rovnice
• Difuzní rovnice

Poznámky

Literatura

• HRIVŇÁK, DANIEL. DIFERENCIÁLNÍ OPERÁTORY VEKTOROVÉ ANALÝZY. [s.l.]: OSTRAVSKÁ UNIVERZITA, 2002. Dostupné online. 

Související články

• Divergence (operátor)
• Rotace (operátor)
• Gradient (matematika)
• Hamiltonův operátor
• Parciální derivace

Zdroj