Laplaceova metoda je technika pro asymptotické aproximace Laplaceových integrálů, tedy přibližný výpočet integrálů ve tvaru
Meze a mohou nabývat hodnot .
Čím větší je tím je aproximace přesnější. Speciálním případem těchto integrálů je Laplaceova transformace. Metoda je pojmenována podle francouzského matematika Pierra-Simona Laplaceho, který ji publikoval v roce 1774.[1]
Zobecněním metody na komplexní čísla je metoda největšího spádu.
Tvrzení
Nechť a existuje ostré minimum (tedy a ). Dále platí . Pak platí
nebo v terminologii asymptotické analýzy
-
.
Odvození
Základní myšlenka je následující:[2]
Největší příspěvek k hodnotě integrálu pochází z bodů v okolí .
Za předpokladu, že je velmi velké, můžeme integrál vyjádřit takto:
Funkci v bodě vyjádříme pomocí Taylorova rozvoje:
Tedy můžeme aproximovat
Odtud plyne
Pokud by v integrálu na pravé straně byly integrační meze šlo by o Gaussův integrál; díky tomu, že hodnota exponenciální funkce při odchýlení od klesá velmi rychle, můžeme použít jeho hodnotu:
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Methode von Laplace na německé Wikipedii.
Literatura
-
↑ LAPLACE, Pierre-Simon. Mémoires de Mathématique et de Physique, Tome Sixième [online]. Institute of Mathematical Statistics [cit. 2021-05-21]. Dostupné online.
-
↑ COHN, Steve. Integral Asymptotics: Laplace’s Method [online]. University of Nebraska-Lincoln. Dostupné online.
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2023-12-30 00:21:05
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Laplaceova metoda)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.