Model původního obrázku Kochańského z Acta Eruditorum ilustrující jeho přibližnou rektifikaci kružnice Kochańského konstrukce je přibližná metoda rektifikace kružnice neboli konstrukce úsečky o délce rovné polovině obvodu daného kruhu navržená v roce 1685 polským matematikem Adamem Adamandym Kochańským[1] . Umožňuje sestrojení úsečky, která je přibližně π {\displaystyle \pi } -krát delší než daná úsečka. Jejím využitím lze také provést přibližnou kvadraturu kruhu .
Popis konstrukce
Je dána kružnice se středem v bodě P 1 {\displaystyle P_{1}} a poloměrem r . {\displaystyle r.}
Sestrojíme průměr kružnice P 2 P 3 ¯ . {\displaystyle {\overline {P_{2}P_{3}}}.}
Sestrojíme tečnu ke kružnici v bodě P 2 . {\displaystyle P_{2}.}
Sestrojíme kružnici (nebo kruhový oblouk ) se středem v bodě P 2 {\displaystyle P_{2}} a poloměrem r . {\displaystyle r.} Jeden z průsečíků s původní kružnicí označíme P 4 . {\displaystyle P_{4}.}
Sestrojíme kružnici (kruhový oblouk) se středem v bodě P 4 {\displaystyle P_{4}} a poloměrem r . {\displaystyle r.} Jeden z průsečíků kruhových oblouků je P 1 {\displaystyle P_{1}} , druhý označíme P 5 . {\displaystyle P_{5}.} Body P 1 {\displaystyle P_{1}} a P 5 {\displaystyle P_{5}} tvoří osu úsečky P 2 P 4 ¯ . {\displaystyle {\overline {P_{2}P_{4}}}.}
Průsečík P 1 P 5 ¯ {\displaystyle {\overline {P_{1}P_{5}}}} s tečnou ke kružnici vedenou bodem P 2 {\displaystyle P_{2}} označíme P 6 . {\displaystyle P_{6}.}
Na polopřímku P 6 P 2 ¯ {\displaystyle {\overline {P_{6}P_{2}}}} naneseme od bodu P 6 {\displaystyle P_{6}} 3krát vzdálenost r {\displaystyle r} , čímž získáme postupně body P 7 , {\displaystyle P_{7},} P 8 , {\displaystyle P_{8},} P 9 . {\displaystyle P_{9}.}
Úsečka P 3 P 9 ¯ {\displaystyle {\overline {P_{3}P_{9}}}} má délku přibližně rovnou π r {\displaystyle \pi r}
| P 3 P 9 | = | P 1 P 2 | 40 3 − 2 3 ≈ 3,141 533 338 7 ⋅ | P 1 P 2 | ≈ π r . {\displaystyle |P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3{,}141\,533\,338\,7\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.}
Stojí za zmínku, že úsečka P 1 P 5 ¯ {\displaystyle {\overline {P_{1}P_{5}}}} je výškou rovnostranného trojúhelníka P 1 P 4 P 2 , {\displaystyle {P_{1}}{P_{4}}{P_{2}},} což znamená, že svírá úhel 30° s úsečkou P 2 P 3 ¯ {\displaystyle {\overline {P_{2}P_{3}}}} [2] .
Odhad relativní chyby
| π − 40 3 − 2 3 | ≈ 0,000 059 314 884 7. {\displaystyle \left|\pi -{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\right|\approx 0{,}000\,059\,314\,884\,7.}
Proto se chyba objeví až na pátém místě za desetinnou čárkou. Takové přiblížení v praktických případech obvykle postačuje.
Kvadratura kruhu založená na Kochańského konstrukci
Na základě Kochańského konstrukce je možná také přibližná kvadratura kruhu . Ilustruje ji následující obrázek.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Konstrukcja Kochańskiego na polské Wikipedii.
↑ KOCHAŃSKI, Adam Adamandy. Observationes Cyclometricae ad facilitandam Praxin accomodatae. Acta Eruditorum . Roč. 1685, čís. 4, s. 394–398. (latinsky)
↑ BIELIŃSKI, Andrzej. Geometria wykreślna . Warszawa: [s.n.], 2005. ISBN 83-7207-564-6 . (polsky)
Související články
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-05-08 02:42:22
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Kochaňského konstrukce )
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.