Jacobiho eliptické funkce

Eliptické funkce jsou v matematické oblasti komplexní analýzy speciálním druhem meromorfních funkcí, které splňují dvě podmínky periodicity. Nazývají se eliptické funkce, protože pocházejí z eliptických integrálů. Původně se tyto integrály vyskytovaly při výpočtu délky oblouku elipsy. Důležitými eliptickými funkcemi jsou Abelovy a Jacobiho eliptické funkce a Weierstrassova funkce. Další rozvoj této teorie vedl k hypereliptickým funkcím a modulárním formám.

Definice

Eliptická funkce je taková meromorfní funkce ${\displaystyle f}$, pro kterou existují dvě komplexní čísla ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$, lineárně nezávislá nad množinou reálných čísel, tak, že:

${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)}$ a ${\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z)\quad \forall z\in \mathbb {C} }$.

Eliptické funkce mají tedy dvě periody, a proto se také nazývají „dvojperiodické“.

Abelovy a Jacobiho funkce

Adrien-Marie Legendre studoval eliptické integrály, a jeho práci poté rozvinuli Niels Henrik Abel a Carl Gustav Jacobi.

Abel uvažoval integrální lichou funkci rostoucí na intervalu ${\displaystyle \langle {-{\tfrac {1}{c}}},{\tfrac {1}{c}}\rangle }$:

${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$,

jejíž inverzí ${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$ získal funkce:

${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}\ \ \ \ \ }$${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$,

kde ${\displaystyle c,e\in \mathbb {R^{+}} }$.

Jacobi uvažoval integrální funkci:

${\displaystyle \beta (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$,

jejíž inverzí ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\beta )}$ získal funkce eliptický sinus (sn), eliptický cosinus (cn) a delta amplitudu (dn):

${\displaystyle \operatorname {cn} (\beta )={\sqrt {1-x^{2}}}\ \ \ \ \ }$${\displaystyle \operatorname {dn} (\beta )={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}$,

kde ${\displaystyle 0<k<1}$.

Literatura

• ČUŘÍK, František. Matematika. Praha: Česká matice technická, 1944. Dostupné online. Kapitola Eliptické funkce Legendreovy (Jakobiho), s. 108. 

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu eliptická funkce na Wikimedia Commons

Zdroj