Integrace racionálních funkcí

Integrace racionálních funkcí se týká neurčitého integrálu tvaru ${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,\mathrm {d} x}$, kde ${\displaystyle P(x),Q(x)}$ jsou polynomy.

Racionální funkci ${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ je vždy možné rozložit na součet polynomu a ryze racionální lomené funkce. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků. Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce, která se však v nejobecnějším případě redukuje na řešení integrálu

${\displaystyle I_{1}=\int {\frac {A}{{(x-a)}^{n}}}\,\mathrm {d} x}$

pro přirozené číslo ${\displaystyle n\geq 1}$ a ${\displaystyle x\neq a}$, a integrálu

${\displaystyle I_{2}=\int {\frac {Mx+N}{{(x^{2}+px+q)}^{n}}}\,\mathrm {d} x}$

pro přirozené číslo ${\displaystyle n\geq 1}$, přičemž diskriminant D výrazu ${\displaystyle x^{2}+px+q}$ je záporný.

Pro integrál ${\displaystyle I_{1}}$ dostaneme pro ${\displaystyle n=1}$ aplikováním základních integračních vztahů výraz

${\displaystyle \int {\frac {A}{x-a}}\,\mathrm {d} x=A\ln {|x-a|}+C}$

pro ${\displaystyle x\neq a}$.

Pro ${\displaystyle n\geq 2}$ pak pro ${\displaystyle I_{1}}$ ze základních vztahů plyne

${\displaystyle \int {\frac {A}{{(x-a)}^{n}}}\,\mathrm {d} x={\frac {A}{1-n}}{\frac {1}{{(x-a)}^{n-1}}}+C}$

pro ${\displaystyle x\neq a}$.

Integrál ${\displaystyle I_{2}}$ pro ${\displaystyle M=0,n=1}$ lze převést na integrál ${\displaystyle \int {\frac {\,\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}}$ pomocí substituce

${\displaystyle x^{2}+px+q={(x+{\frac {p}{2}})}^{2}-({\frac {p^{2}}{4}}-q)=z^{2}+a^{2}}$,

kde ${\displaystyle z=x+{\frac {p}{2}}}$ a ${\displaystyle a^{2}=-({\frac {p^{2}}{4}}-q)=-D}$. Pomocí základních integračních vztahů pak dostaneme

${\displaystyle \int N{\frac {\,\mathrm {d} x}{x^{2}+px+q}}=N\int {\frac {\,\mathrm {d} x}{{(x+{\frac {p}{2}})}^{2}-({\frac {p^{2}}{4}}-q)}}=}$

${\displaystyle =N\int {\frac {\,\mathrm {d} z}{z^{2}+a^{2}}}={\frac {N}{a}}\operatorname {arctg} {\frac {z}{a}}+C={\frac {N}{\sqrt {-D}}}\operatorname {arctg} {\frac {x+{\frac {p}{2}}}{\sqrt {-D}}}+C}$

Integrál ${\displaystyle I_{2}}$ pro ${\displaystyle M\neq 0}$ a ${\displaystyle n=1}$ upravíme tak, aby v čitateli byl (až na aditivní konstantu) násobek derivace jmenovatele, což umožňuje úpravu

${\displaystyle \int {\frac {kf^{\prime }(x)+A}{f(x)}}\,\mathrm {d} x=k\int {\frac {f^{\prime }(x)}{f(x)}}\,\mathrm {d} x+\int Af(x)\,\mathrm {d} x}$

Řešení prvního integrálu lze najít podle základních integračních vztahů a druhý integrál je integrál typu ${\displaystyle I_{2}}$ pro ${\displaystyle M=0,n=1}$. Využijeme-li toho, že ${\displaystyle {(x^{2}+px+q)}^{\prime }=2x+p}$ a současně

${\displaystyle Mx+N={\frac {M}{2}}\left(2x+{\frac {2N}{M}}\right)={\frac {M}{2}}\left[(2x+p)+({\frac {2N}{M}}-p)\right],}$

pak dostáváme řešení

${\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}\,\mathrm {d} x={\frac {M}{2}}\int {\frac {2x+p}{x^{2}+px+q}}\,\mathrm {d} x+{\frac {M}{2}}({\frac {2N}{M}}-p)\int {\frac {\,\mathrm {d} x}{x^{2}+px+q}}=}$

${\displaystyle ={\frac {M}{2}}\ln {|x^{2}+px+q|}+AI}$

kde ${\displaystyle I}$ je integrál typu ${\displaystyle I_{2}}$ pro ${\displaystyle M=0,n=1}$.

Integrál ${\displaystyle I_{2}}$ pro ${\displaystyle M=0,n>1}$ lze pomocí substituce ${\displaystyle x-{\frac {p}{2}}=z,\,\mathrm {d} z=\,\mathrm {d} x}$ a ${\displaystyle -({\frac {p^{2}}{4}}-q)=a^{2}}$ upravit na tvar

${\displaystyle K_{n}=\int {\frac {N\,\mathrm {d} x}{{(x^{2}+px+q)}^{n}}}=\int {\frac {N\,\mathrm {d} x}{{[{(x-{\frac {p}{2}})}^{2}-({\frac {p^{2}}{4}}-q)]}^{n}}}=N\int {\frac {\,\mathrm {d} z}{{(z^{2}+a^{2})}^{n}}}}$

Řešíme-li poslední integrál metodou per partes, dostaneme rekurentní vztah

${\displaystyle K_{n+1}={\frac {z}{2na^{2}{(z^{2}+a^{2})}^{n}}}+{\frac {2n-1}{2na^{2}}}K_{n}}$

pro ${\displaystyle n\geq 1}$. Řešení integrálu ${\displaystyle K_{n}}$ lze pak vyjádřit prostřednictvím integrálu ${\displaystyle K_{1}}$, což je však integrál typu ${\displaystyle I_{2}}$ pro ${\displaystyle M=0,n=1}$.

U integrálů ${\displaystyle I_{2}}$, u nichž je ${\displaystyle M\neq 0,n>1}$ použijeme ${\displaystyle f(x)=x^{2}+px+q}$. Čitatele lze pak vyjádřit ve tvaru ${\displaystyle kf^{\prime }(x)+A}$. Řešení má pak tvar

${\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{{(x^{2}+px+q)}^{n}}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {kf^{\prime }(x)+A}{{[f(x)]}^{n}}}\,\mathrm {d} x=k\int {\frac {f^{\prime }(x)}{{[f(x)]}^{n}}}\,\mathrm {d} x+A\int {\frac {\,\mathrm {d} x}{{[f(x)]}^{n}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {M}{2(1-n)}}{\frac {1}{{(x^{2}+px+q)}^{n-1}}}+K_{n}}$,

kde ${\displaystyle K_{n}}$ je integrál vyjádřený pomocí dříve uvedeného rekurentního vztahu.

Při integraci racionální funkci tedy nejdříve vyjádříme tuto funkci jako součet polynomu, který lze ihned integrovat, a racionální lomené funkce, kterou rozložíme na parciální zlomky. Poté integrujeme parciální zlomky, čímž získáme celé řešení integrálu původní racionální funkce.

Zdroj