Integrace racionálních funkcí se týká neurčitého integrálu tvaru , kde jsou polynomy.
Racionální funkci je vždy možné rozložit na součet polynomu a ryze racionální lomené funkce. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků. Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce, která se však v nejobecnějším případě redukuje na řešení integrálu
pro přirozené číslo a , a integrálu
pro přirozené číslo , přičemž diskriminant D výrazu je záporný.
Pro integrál dostaneme pro aplikováním základních integračních vztahů výraz
pro .
Pro pak pro ze základních vztahů plyne
pro .
Integrál pro lze převést na integrál pomocí substituce
-
,
kde a . Pomocí základních integračních vztahů pak dostaneme
Integrál pro a upravíme tak, aby v čitateli byl (až na aditivní konstantu) násobek derivace jmenovatele, což umožňuje úpravu
Řešení prvního integrálu lze najít podle základních integračních vztahů a druhý integrál je integrál typu pro . Využijeme-li toho, že a současně
pak dostáváme řešení
kde je integrál typu pro .
Integrál pro lze pomocí substituce a upravit na tvar
Řešíme-li poslední integrál metodou per partes, dostaneme rekurentní vztah
pro . Řešení integrálu lze pak vyjádřit prostřednictvím integrálu , což je však integrál typu pro .
U integrálů , u nichž je použijeme . Čitatele lze pak vyjádřit ve tvaru . Řešení má pak tvar
-
,
kde je integrál vyjádřený pomocí dříve uvedeného rekurentního vztahu.
Při integraci racionální funkci tedy nejdříve vyjádříme tuto funkci jako součet polynomu, který lze ihned integrovat, a racionální lomené funkce, kterou rozložíme na parciální zlomky. Poté integrujeme parciální zlomky, čímž získáme celé řešení integrálu původní racionální funkce.
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2023-12-28 06:50:36
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Integrace racionálních funkcí)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.