Homogenní polynom

Homogenní polynom, případně homogenní mnohočlen, je označení takového mnohočlenu, který má v každém ze svých členů stejný součet mocnin u proměnných, každý ze členů je tedy stejného stupně. Tedy například mnohočlen ${\displaystyle x^{3}+2xy^{2}+3y^{3}}$ je homogenní (všechny členy jsou stupně 3), naopak mnohočlen ${\displaystyle x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2}}$ homogenní není (krajní členy jsou stupně 2, zatímco prostřední je stupně 4).

Každý mnohočlen lze homogenizovat přidáním jedné nové proměnné a dosazením náhradou stávajících výraznem s jinou proměnnou a to následujícím způsobem: Je-li dán mnohočlen ${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$ s maximálním stupněm členů rovným ${\displaystyle d}$, pak k němu vytvoříme homogenizovaný polynom přidáním proměnné ${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle p_{H}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}\cdot p\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},{\frac {x_{2}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right)}$

Dosazením ${\displaystyle x_{0}=1}$ lze naopak z homogenizovaného mnohočlenu získat mnohočlen původní.

Pro mnohočlen ${\displaystyle p(x,y)=x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2}}$ získáme homogenizovaný mnohočlen dosazením ${\displaystyle {\frac {x_{h}}{z_{h}}}\rightarrow x,{\frac {y_{h}}{z_{h}}}\rightarrow y}$ a vynásobením ${\displaystyle z_{h}^{4}}$. Pak platí ${\displaystyle p_{H}(x_{h},y_{h},z_{h})=z_{h}^{4}\cdot p\left({\frac {x_{h}}{z_{h}}},{\frac {y_{h}}{z_{h}}}\right)=x_{h}^{2}z_{h}^{2}+x_{h}^{2}y_{h}^{2}+y_{h}^{2}z_{h}^{2}}$. Dosazením ${\displaystyle z_{h}=1}$ získáváme původní ${\displaystyle x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2}}$. Homogenizace mnohočlenu tedy v podstatě spočívá v tom, že se každý člen vynásobí takovou mocninou nově přidaného argumentu, aby se souhrnný stupeň každého členu rovnal souhrnnému stupni toho z členů, který ho má nejvyšší.

Zdroj