Hom funktor

Hom funktor je kovariantní bifunktor v lokálně malé kategorii ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ typu ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set} }$ definovaný pro ${\displaystyle A,B\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})}$ takto:

${\displaystyle Hom(A,-)}$ je kovariantní a pro ${\displaystyle X,Y\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}}),f:X\rightarrow Y}$ je ${\displaystyle Hom(A,f)}$ funkce ${\displaystyle Hom(A,f):Hom(A,X)\rightarrow Hom(A,Y),Hom(A,f)(g)=f\circ g}$, kde ${\displaystyle g\in Hom(A,X)}$.

Podobně ${\displaystyle Hom(-,B)}$ je kontravariantní a pro ${\displaystyle X,Y\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}}),h:X\rightarrow Y}$ je ${\displaystyle Hom(h,B)}$ funkce ${\displaystyle Hom(h,B):Hom(Y,B)\rightarrow Hom(X,B),Hom(h,B)(g)=g\circ h}$, kde ${\displaystyle g\in Hom(Y,B)}$.

${\displaystyle Hom(-,-)}$ je tedy kovariantní bifunktor ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set} }$.

Zdroj