Goniometrická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v goniometrické funkci .
[1]
K vyřešení goniometrické rovnice se používá jednotková kružnice .
Příklad, jak může goniometrická rovnice vypadat:
( sin x ) 2 + 2 sin x − 3 = 0 {\displaystyle (\sin x)^{2}+2\sin x-3=0}
Řešení goniometrické rovnice
[2] [3]
Jednoduché rovnice
1. rovnice
cos x = − 3 2 {\displaystyle \cos x=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
x 1 = 5 π 6 + 2 k π , k ∈ Z {\displaystyle x_{1}={\frac {5\pi }{6}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} }
x 2 = 7 π 6 + 2 k π , k ∈ Z {\displaystyle x_{2}={\frac {7\pi }{6}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} }
2. rovnice
tg x = − 3 {\displaystyle {\textrm {tg}}\,x=-{\sqrt {3}}}
x = 2 π 3 + k π , k ∈ Z {\displaystyle x={\frac {2\pi }{3}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} }
Substituce
1. rovnice
( sin x ) 2 + 2 sin x − 3 = 0 {\displaystyle (\sin x)^{2}+2\sin x-3=0}
Zavedeme substituci a = sin x {\displaystyle a=\sin x} :a 2 + 2 a − 3 = 0 {\displaystyle a^{2}+2a-3=0}
Vypočítáme kvadratickou rovnici:a 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a = − 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) 2 ⋅ 1 = − 2 ± 16 2 = − 2 ± 4 2 {\displaystyle a_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-2\pm {\sqrt {16}}}{2}}={\frac {-2\pm 4}{2}}} a 1 = − 2 + 4 2 = 2 2 = 1 {\displaystyle a_{1}={\frac {-2+4}{2}}={\frac {2}{2}}=1} a 2 = − 2 − 4 2 = − 6 2 = − 3 {\displaystyle a_{2}={\frac {-2-4}{2}}={\frac {-6}{2}}=-3}
Nyní si můžeme napsat 2 rovnice :
sin x = 1 {\displaystyle \sin x=1}
sin x = − 3 {\displaystyle \sin x=-3}
Vyřešíme obě rovnice :
sin x = 1 {\displaystyle \sin x=1} x = 1 2 π + 2 k π {\displaystyle x={\frac {1}{2}}\pi +2k\pi }
sin x = − 3 {\displaystyle \sin x=-3} x = ϕ {\displaystyle x=\phi }
Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce .
2. rovnice
sin ( x + π 6 ) = 1 {\displaystyle \sin \left(x+{\frac {\pi }{6}}\right)=1}
Zavedeme substituci a = x + π 6 {\displaystyle a=x+{\frac {\pi }{6}}} :sin a = 1 {\displaystyle \sin a=1}
a = π 2 + 2 k π {\displaystyle a={\frac {\pi }{2}}+2k\pi }
Dosadíme substituci a = x + π 6 {\displaystyle a=x+{\frac {\pi }{6}}} :x + π 6 = π 2 + 2 k π {\displaystyle x+{\frac {\pi }{6}}={\frac {\pi }{2}}+2k\pi }
a = x + π 6 {\displaystyle a=x+{\frac {\pi }{6}}} :x = 3 π 6 + 2 k π − π 6 {\displaystyle x={\frac {3\pi }{6}}+2k\pi -{\frac {\pi }{6}}}
x = 2 π 6 + 2 k π {\displaystyle x={\frac {2\pi }{6}}+2k\pi }
x = π 3 + 2 k π {\displaystyle x={\frac {\pi }{3}}+2k\pi }
Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce .
Rovnice s více funkcemi současně
1. rovnice
1. 3 cos x = 2 − sin x {\displaystyle {\sqrt {3}}\cos x=2-\sin x}
2. umocníme rovnici na druhou:
3 cos 2 x = ( 2 − sin x ) 2 {\displaystyle 3\cos ^{2}x=(2-\sin x)^{2}}
3. použijeme vzorec cos 2 x = 1 − sin 2 x {\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x}
3 − 3 sin 2 x = 4 − 4 sin x + sin 2 x {\displaystyle 3-3\sin ^{2}x=4-4\sin x+\sin ^{2}x}
4. 0 = 4 sin 2 x − 4 sin x + 1 {\displaystyle 0=4\sin ^{2}x-4\sin x+1}
5. použijeme vzorec a 2 − 2 a b + b 2 = ( a − b ) 2 {\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}
( 2 sin x − 1 ) 2 = 0 {\displaystyle (2\sin x-1)^{2}=0}
6. celou rovnici odmocníme:
2 sin x − 1 = 0 {\displaystyle 2\sin x-1=0}
7. sin x = 1 2 {\displaystyle \sin x={\frac {1}{2}}}
x 1 = π 6 + 2 k π {\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{1}}}={\frac {\pi }{6}}+2k\pi }
x 2 = 5 π 6 + 2 k π {\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{2}}}={\frac {5\pi }{6}}+2k\pi }
8. z důvodu neekvivalentních úprav 2. a 6. je nutná zkouška
kořen x 2 {\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{2}}}} rovnici nevyhovuje a jediným řešením je x 1 {\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{1}}}}
Takto je možné řešit rovnice se dvěma různými goniometrickými funkcemi
2. rovnice
( cot x ) − 1 = − ( tan x ) − 1 + 2 ( sin x ) − 1 {\displaystyle (\cot x)^{-1}=-(\tan x)^{-1}+2(\sin x)^{-1}}
Použijeme vztahy mezi funkcemi:
tan x = 2 ( sin x ) − 1 − cot x {\displaystyle \tan x=2(\sin x)^{-1}-\cot x}
sin x cos x = 2 sin x − cos x sin x {\displaystyle {\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2}{\sin x}}-{\frac {\cos x}{\sin x}}}
zbavíme se zlomků:
sin 2 x = cos x ∗ ( 2 − cos x ) {\displaystyle \sin ^{2}x=\cos x*(2-\cos x)}
Použijeme vzorec sin 2 x = 1 − cos 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x}
1 − cos 2 x = 2 cos x − cos 2 x {\displaystyle 1-\cos ^{2}x=2\cos x-\cos ^{2}x}
1 = 2 cos x {\displaystyle 1=2\cos x}
cos x = 1 / 2 {\displaystyle \cos x=1/2}
x 1 = π 6 + 2 k π {\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{1}}}={\frac {\pi }{6}}+2k\pi }
x 2 = 11 π 6 + 2 k π {\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{2}}}={\frac {11\pi }{6}}+2k\pi }
Rovnice vyřešena
Vybrané (nejpoužívanější) vzorce
[4] [5]
Záporné hodnoty úhlů
sin ( − α ) = − sin α {\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha \,\!}
cos ( − α ) = cos α {\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha \,\!}
t g ( − α ) = − t g α {\displaystyle \mathrm {tg} (-\alpha )=-\mathrm {tg} \,\alpha \,\!}
c o t g ( − α ) = − c o t g α {\displaystyle \mathrm {cotg} (-\alpha )=-\mathrm {cotg} \,\alpha \,\!}
Vzájemné vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu
sin 2 α + cos 2 α = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\,\!}
t g α ⋅ c o t g α = 1 {\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha \cdot \mathrm {cotg} \,\alpha =1\,\!}
tg α = sin α cos α {\displaystyle {\textrm {tg}}\,\alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\,\!}
cotg α = cos α sin α {\displaystyle {\textrm {cotg}}\,\alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\,\!}
sin α = 1 − cos 2 α {\displaystyle \sin \alpha ={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}
cos α = 1 − sin 2 α {\displaystyle \cos \alpha ={\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}
tg α = 1 cotg α {\displaystyle {\textrm {tg}}\,\alpha ={\frac {1}{{\textrm {cotg}}\,\alpha }}\,\!}
Dvojnásobný úhel
sin 2 α = 2 ⋅ sin α cos α {\displaystyle \sin 2\alpha =2\cdot \sin \alpha \cos \alpha \,\!}
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \,\!}
Poloviční úhel
sin α 2 = 1 − cos α 2 {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\,\!}
cos α 2 = 1 + cos α 2 {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\,\!}
Mocniny goniometrických funkcí
sin 2 α = 1 2 ( 1 − cos 2 α ) {\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha )}
cos 2 α = 1 2 ( 1 + cos 2 α ) {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha )}
Goniometrické funkce součtu a rozdílu úhlů
sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β {\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,\!}
cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β {\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,\!}
Kvadranty a hodnoty funkcí ve vybraných úhlech
Jednotková kružnice [6]
Kvadrant
α
sin α
cos α
tg α
cotg α
1. kvadrant
0° – 90°
+
+
+
+
2. kvadrant
90° – 180°
+
–
–
-
3. kvadrant
180° – 270°
–
–
+
+
4. kvadrant
270° – 360°
–
+
–
-
Stupně
Radiány
Sinus
Kosinus
Tangens
Kotangens
0
0 {\displaystyle 0\,}
0 {\displaystyle 0\,}
1 {\displaystyle 1\,}
0 {\displaystyle 0\,}
− {\displaystyle -\,}
30
π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}
45
π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
1 {\displaystyle 1\,}
1 {\displaystyle 1\,}
60
π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}
3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
90
π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
1 {\displaystyle 1\,}
0 {\displaystyle 0\,}
− {\displaystyle -\,}
0 {\displaystyle 0\,}
120
2 π 3 {\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}
3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
− 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}}
− 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}
135
3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}
2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
− 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}
− 1 {\displaystyle -1\,}
− 1 {\displaystyle -1\,}
150
5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
− 3 2 {\displaystyle {\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}}
− 3 3 {\displaystyle {\frac {-{\sqrt {3}}}{3}}}
− 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}}
180
π {\displaystyle \pi \,}
0 {\displaystyle 0\,}
− 1 {\displaystyle -1\,}
0 {\displaystyle 0\,}
− {\displaystyle -\,}
210
7 π 6 {\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
− 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}
225
5 π 4 {\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}}
− 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}
− 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}
1 {\displaystyle 1\,}
1 {\displaystyle 1\,}
240
4 π 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}
− 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}
3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
270
3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}
− 1 {\displaystyle -1\,}
0 {\displaystyle 0\,}
− {\displaystyle -\,}
0 {\displaystyle 0\,}
300
5 π 3 {\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}
− 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
− 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}}
− 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}
315
7 π 4 {\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}
− 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}
2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
− 1 {\displaystyle -1\,}
− 1 {\displaystyle -1\,}
330
11 π 6 {\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
− 3 3 {\displaystyle {\frac {-{\sqrt {3}}}{3}}}
− 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}}
Související články
Reference
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-04-06 23:24:21
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Goniometrická rovnice )
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.