Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar
-
,
kde je nějaký kvantově-mechanický operátor a je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi.
Ehrenfestovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.
Odvození
Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu . Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru platí
-
-
,
přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen .
Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že
a také
Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit . Dosazením do předchozí rovnice dostaneme
Příklad
Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako
-
,
kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. Z Ehrenfestova teorému dostaneme
-
,
kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako , z čehož plyne . Tedy
Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme
-
.
Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor lze pak chápat jako operátor síly.
Jedná se o příklad principu korespondence.
Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako
-
,
kde je hmotnost částice.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ehrenfest theorem na anglické Wikipedii.
Související články
Externí odkazy
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2023-12-10 22:56:04
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Ehrenfestův teorém)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.