Chí kvadrát

Rozdělení chí kvadrát čili rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}}$ (jinak také Pearsonovo rozdělení) s ${\displaystyle n}$ stupni volnosti je spojité rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice. Velký význam má pro určování, zda množina dat vyhovuje dané distribuční funkci.

Rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}}$ o ${\displaystyle n}$ stupních volnosti, které se označuje ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$, je rozdělení náhodné veličiny ${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}}$, kde ${\displaystyle U_{i}}$ je ${\displaystyle n}$ vzájemně nezávislých náhodných veličin s normovaným normálním rozdělením ${\displaystyle \operatorname {N} (0,1)}$.

Rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ má hustotu pravděpodobnosti

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pro }}x\leq 0\\{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)2^{\frac {n}{2}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{2}}}x^{{\frac {n}{2}}-1}&{\mbox{ pro }}x>0\end{matrix}}\right.}$

Střední hodnota rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ je

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=n}$

Rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ má rozptyl

${\displaystyle \sigma ^{2}(X)=2n}$

Momentová vytvořující funkce pro rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ má tvar

${\displaystyle m_{X}(t)={(1-2t)}^{-{\frac {n}{2}}}}$

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

stupňů volnosti	q0,95	q0,99
1	3,84	6,63
2	5,99	9,21
3	7,81	11,34
4	9,49	13,28
5	11,07	15,09
10	18,31	23,21
15	25,00	30,58
20	31,41	37,57
30	43,77	50,89
40	55,76	63,69
50	67,50	76,15
N velké (>100)	${\displaystyle N+1,65{\sqrt {2N}}}$	${\displaystyle N+2,33{\sqrt {2N}}}$

Poznámka: 95% kvantil odpovídá kritické hodnotě pro 5% hladinu významnosti, 99% kvantil kritické hodnotě pro 1% hladinu významnosti.

Rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ se s rostoucím ${\displaystyle n}$ blíží k normálnímu rozdělení se střední hodnotou ${\displaystyle n}$ a rozptylem ${\displaystyle 2n}$.

• Chí-kvadrát test
• Rozdělení pravděpodobnosti
• Normální rozdělení

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Χ² rozdělení na Wikimedia Commons

Zdroj