Cantorova věta o průniku kompaktů

Cantorova věta o průniku kompaktů tvrdí: Nechť ${\displaystyle K_{1}\supset K_{2}\supset K_{3}...}$ je posloupnost do sebe vnořených neprázdných kompaktů. Pak jejich průnik je neprázdná množina.

Zvolím posloupnost ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ tak, že pro každé přirozené číslo ${\displaystyle i}$ je ${\displaystyle x_{i}\in K_{i}}$. Díky tomu, že ${\displaystyle K_{1}}$ je kompakt, lze z této posloupnosti vybrat podposloupnost konvergující k ${\displaystyle x_{0}\in K_{1}}$.

Dále si všimnu, že pro každé ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ leží všechny členy od jistého indexu této vybrané podposloupnosti uvnitř ${\displaystyle K_{n}}$ (díky způsobu, jakým jsou do sebe kompakty vnořeny). To platí pro každé přirozené číslo ${\displaystyle n}$, tedy průnik až do nekonečna je neprázdný.

• Georg Cantor

Zdroj