Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.
Řešení binomické rovnice
Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
Úhel komplexní číslo s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé
Porovnáním úhlů a odvozením řešení je
Diskuse
V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu . Pokud je číslo kladné reálné, poté uvažujeme úhel . Naopak, když je reálné záporné, uvažujeme úhel . Pokud uvažujeme, že má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:
Řešení
Binomická rovnice má celkem řešení. Při jejich hledání se za koeficient dosazují postupně hodnoty množiny . Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného -úhelníka. (Vrcholy takovného -úhelníka pro rovnici leží na jednotkové kružnici v Gaussově rovině a navíc všechny tyto -úhelníky mají jeden z vrcholů v bodě , čili jedno z řešení je vždy .) Samotné řešení je
1. možnost
2. možnost
3. možnost neurčitého a komplexního
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-04-22 12:31:08
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Binomická rovnice)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.