Bilineární forma

Bilineární forma je matematický pojem z oblasti lineární algebry. Je to zobrazení z kartézského součinu dvou vektorových prostorů do tělesa, které je lineární v obou složkách.

Definice

Nechť ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ je vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle T}$. Bilineární forma na ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ je každé zobrazení ${\displaystyle B:{\mathcal {V}}\times {\mathcal {V}}\to T}$, které splňuje následující podmínky, kde ${\displaystyle \;u,v,w\in {\mathcal {V}}\;}$a ${\displaystyle \;\alpha \in T}$:

${\displaystyle B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\!}$

${\displaystyle B(\alpha u,v)=\alpha B(u,v)\!}$

${\displaystyle B(u,v+w)=B(u,v)+B(u,w)\!}$

${\displaystyle B(u,\alpha v)=\alpha B(u,v)\!}$

Matice bilineární formy a její transformace

Často je výhodné pracovat s bilineární formou jako s maticí. Ta je definována následovně:

Definice: Nechť ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle T}$ a ${\displaystyle C}$ báze v něm. Nechť ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {V}}}$ jsou vektory a ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in T^{n}}$jejich vyjádření vůči ${\displaystyle C}$. Nechť ${\displaystyle B}$ je bilineární forma na ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$.

Matice ${\displaystyle M}$ je vyjádřením bilineární formy ${\displaystyle B}$ v bázi ${\displaystyle C}$ pokud splňuje:

${\displaystyle B(a,b)\,=\,{\vec {a}}^{T}M\,{\vec {b}}\quad \forall a,b.}$

Z této definice přímo vyplývá i transformační vztah pro matici bilineární formy. Pokud ${\displaystyle a=R\,a'}$ a zároveň má platit ${\displaystyle {a'}^{T}M'b'=a^{T}M\,b}$, potom:

${\displaystyle a^{T}M\,b\;=\;(R\,a')^{T}M\,(Rb')\;=\;{a'}^{T}(R^{T}M\,R)\,b'\;={a'}^{T}M'b'\quad \implies \quad M'=R^{T}M\,R.}$

Symetrická a antisymetrická bilineární forma

Bilineární forma se nazývá:

• symetrická, platí-li pro všechna u,v ${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)\!}$.
• antisymetrická, platí-li pro všechna u,v ${\displaystyle B(u,v)=-B(v,u)\!}$.

Je-li charakteristika tělesa T různá od 2, lze každou bilineární formu rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část:

${\displaystyle B(u,v)=B^{S}(u,v)+B^{A}(u,v)\!}$,

kde

${\displaystyle B^{S}(u,v)={\frac {1}{2}}(B(u,v)+B(v,u))\!}$ je symetrická a

${\displaystyle B^{A}(u,v)={\frac {1}{2}}(B(u,v)-B(v,u))\!}$ je antisymetrická.

Seskvilineární forma

Ve vektorových prostorech nad komplexními čísly se v mnoha případech (například jako skalární součin) místo bilineárních forem používají tzv. seskvilineární formy, které jsou v prvním argumentu antilineární a v druhém lineární. Jejich definice se od bilineární formy liší pouze jednou podmínkou. Zatímco pro bilineární formu platilo:

${\displaystyle B(\alpha u,v)=\alpha B(u,v)\!}$

pro seskvilineární formu platí:

${\displaystyle B(\alpha u,v)={\bar {\alpha }}B(u,v)\!}$

kde ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ je komplexní sdružení.

Obdobnou úvahou jako v případě bilineární formy můžeme dospět k maticovému zápisu ${\displaystyle a^{+}M\,b}$a transformačnímu vztahu ${\displaystyle R^{+}M\,R}$, kde ${\displaystyle A^{+}}$značí matici hermitovsky sdruženou s ${\displaystyle A}$.

Související články

• Lineární zobrazení
• Lineární forma
• Kvadratická forma

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu bilineární forma na Wikimedia Commons
• Encyklopedické heslo Bilineárná forma v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích

Zdroj