Bernsteinův polynom

V teorii numerické matematiky je Bernsteinův polynom, nebo také polynom v Bernsteinově tvaru, polynomem, který je lineární kombinací Bernsteinových bázových polynomů.

Numericky stabilní cestou k výpočtu Bernsteinových polynomů je tzv. Algoritmus de Casteljau.

Polynomy v Bernsteinově tvaru byly poprvé použity v konstrukčním důkaze Stoneovy–Weierstrassovy aproximační věty. S rozvojem počítačové grafiky se Bernsteinovy polynomy omezené na intervalu ${\displaystyle [0,1]}$ staly důležitými ve formě Beziérových křivek.

n+1 Bernsteinových bázových polynomů stupně ${\displaystyle n}$ je definováno vztahem

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu },\qquad \nu =0,\ldots ,n.}$

kde ${\displaystyle {n \choose \nu }}$ je binomický koeficient.

Bernsteinovy bázové polynomy stupně ${\displaystyle n}$ tvoří bázi vektorového prostoru polynomů stupně ${\displaystyle n}$.
Lineární kombinace Bernsteinových bázových polynomů

${\displaystyle B(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}$

se nazývá Bernsteinův polynom, neboli polynom v Bernsteinově tvaru stupně ${\displaystyle n}$. Koeficienty ${\displaystyle \beta _{\nu }}$ jsou nazývány Bernsteinovy koeficienty, nebo také Beziérovy koeficienty.

Báze tvořená Bernsteinovými polynomy tvoří rozklad jednotky na intervalu ${\displaystyle <0;1>}$.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{b_{i,n}(x)}=1}$

V bázi tvořené Bernsteinovými polynomy existují vždy symetrické polynomy.

${\displaystyle b_{i,n}(x)=b_{n-i,n}(1-x)}$

Důkaz:

${\displaystyle b_{n-i,n}(1-x)={n \choose n-i}(1-x)^{n-i}(1-(1-x))^{n-(n-i)}}$

Z vlastností kombinačních čísel vyplývá:

${\displaystyle {n \choose i}={n \choose n-i}}$

Nyní stačí upravit předchozí rovnici a získáme že:

${\displaystyle b_{n-i,n}(1-x)={n \choose n-i}(1-x)^{n-i}(1-(1-x))^{n-(n-i)}={n \choose i}(1-x)^{n-i}(x)^{i}=b_{i,n}(x)}$

Bernsteinovy polynomy jsou rekurentní. To znamená že Bernsteinův polynom lze definovat použitím polynomu nižšího řádu.

${\displaystyle b_{i,n}(x)=(1-x)b_{i,n-1}(x)+tb_{i-1,n-1}(x)}$

${\displaystyle b_{i,n}(x)'=n(b_{i-1,n-1}(x)-b{i,n-1}(x))}$

Na intervalu ${\displaystyle <0;1>}$ je maximum v bodě ${\displaystyle x={\frac {i}{n}}}$.

Důkaz: Maximum najdeme skrze derivaci:

${\displaystyle b_{i,n}(x)'={n \choose i}x^{i-1}(1-x)^{n-i-1}[i(1-x)-x(n-i)]}$

Nyní můžeme nahlédnout, že pro body ${\displaystyle x=0,1}$ nezískáme nulovou derivaci. Proto zbývá pouze činitel v závorce, který můžeme položit nule.

${\displaystyle i(1-x)-x(n-i)=0}$

${\displaystyle i-ix-xn+ix=0}$

${\displaystyle xn=i}$

${\displaystyle x={\frac {i}{n}}}$

Že tento bod leží na intervalu ${\displaystyle <0;1>}$ vyplývá z nerovnosti ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$.

Prvních několik Bernsteinových bázových polynomů vypadá takto:

${\displaystyle b_{0,0}(x)=1\,}$

${\displaystyle b_{0,1}(x)=1-x\,}$

${\displaystyle b_{1,1}(x)=x\,}$

${\displaystyle b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}\,}$

${\displaystyle b_{1,2}(x)=2x(1-x)\,}$

${\displaystyle b_{2,2}(x)=x^{2}\ .}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernstein_polynomial na anglické Wikipedii.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Bernsteinův polynom na Wikimedia Commons

Zdroj