V teorii numerické matematiky je Bernsteinův polynom, nebo také polynom v Bernsteinově tvaru, polynomem, který je lineární kombinací Bernsteinových bázových polynomů.
Numericky stabilní cestou k výpočtu Bernsteinových polynomů je tzv. Algoritmus de Casteljau.
Polynomy v Bernsteinově tvaru byly poprvé použity v konstrukčním důkaze Stoneovy–Weierstrassovy aproximační věty. S rozvojem počítačové grafiky se Bernsteinovy polynomy omezené na intervalu staly důležitými ve formě Beziérových křivek.
Definice
n+1 Bernsteinových bázových polynomů stupně je definováno vztahem
kde
je binomický koeficient.
Bernsteinovy bázové polynomy stupně tvoří bázi vektorového prostoru polynomů stupně .
Lineární kombinace Bernsteinových bázových polynomů
se nazývá Bernsteinův polynom, neboli polynom v Bernsteinově tvaru stupně . Koeficienty jsou nazývány Bernsteinovy koeficienty, nebo také Beziérovy koeficienty.
Vlastnosti
Rozklad jednotky
Báze tvořená Bernsteinovými polynomy tvoří rozklad jednotky na intervalu .
Symetrie
V bázi tvořené Bernsteinovými polynomy existují vždy symetrické polynomy.
Důkaz:
Z vlastností kombinačních čísel vyplývá:
Nyní stačí upravit předchozí rovnici a získáme že:
Rekurence
Bernsteinovy polynomy jsou rekurentní. To znamená že Bernsteinův polynom lze definovat použitím polynomu nižšího řádu.
Derivace
Lokální maximum
Na intervalu je maximum v bodě .
Důkaz:
Maximum najdeme skrze derivaci:
Nyní můžeme nahlédnout, že pro body nezískáme nulovou derivaci. Proto zbývá pouze činitel v závorce, který můžeme položit nule.
Že tento bod leží na intervalu vyplývá z nerovnosti .
Příklad
Prvních několik Bernsteinových bázových polynomů vypadá takto:
-
-
-
-
-
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernstein_polynomial na anglické Wikipedii.
Externí odkazy
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2023-12-25 02:41:23
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Bernsteinův polynom)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.