Bayesův teorém

Bayesova věta (alternativně Bayesova formule, Bayesův vzorec) je věta teorie pravděpodobnosti, která udává, jak podmíněná pravděpodobnost nějakého jevu souvisí s opačnou podmíněnou pravděpodobností^[1]. Poprvé na tuto souvislost upozornil anglický duchovní Thomas Bayes (1702–1761) v posmrtně vydaném článku An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances (1763). Roku 1774 větu znovu objevil francouzský matematik a fyzik Pierre-Simon Laplace, nicméně postupně upadla v zapomnění a rozšířila se až v 2. polovině 20. století.^[2] Frekvenční interpretace pravděpodobnosti se poté nazývá klasická či Laplaceova, právě podle Pierre-Simona Laplace.

Jedno z mnoha použití Bayesovy věty je v oblasti statistické inference (konkrétně Bayesova inference). Věta taktéž položila základy relativně novému směru statistiky - Bayesovská statistika.^[3]

Znění věty

Jednoduchá forma Bayesovy věty

Mějme dva náhodné jevy ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$, přičemž ${\displaystyle P(B)\neq 0}$. Potom platí:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},}$ kde

• ${\displaystyle P(A\mid B)}$ je podmíněná pravděpodobnost jevu ${\displaystyle A}$ za předpokladu, že nastal jev ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle P(B\mid A)}$ je podmíněná pravděpodobnost jevu ${\displaystyle B}$ podmíněná výskytem jevu ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle P(A)}$ a ${\displaystyle P(B)}$ jsou pravděpodobnosti jevů ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$

Bayesova věta

Mějme náhodné jevy ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B_{j}}$, pro ${\displaystyle j={1,...,k}}$. Nechť jsou jevy ${\displaystyle B_{j}}$ vzájemně neslučitelné pro každé ${\displaystyle j}$ a nechť v každém pokusu nastává právě jeden z nich, takže součet jejich pravděpodobností je roven jedné:

${\displaystyle {\sum _{i=1}^{k}P(B_{i})=1}}$

Potom platí:

${\displaystyle P(B_{j}\mid A)={\frac {P(A\mid B_{j})\,P(B_{j})}{P(A)}}\!,}$ kde

• ${\displaystyle P(A\mid B_{j})}$ je podmíněná pravděpodobnost jevu ${\displaystyle A}$ za předpokladu, že nastal jev ${\displaystyle B_{j}}$
• ${\displaystyle P(B_{j}\mid A)}$ je podmíněná pravděpodobnost jevu ${\displaystyle B_{j}}$ za předpokladu, že nastal jev ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle P(A)}$ je pravděpodobnost jevu ${\displaystyle A}$

Důkaz Bayesovy věty

Pro jednoduchost uvažujme pouze dva náhodné jevy. Důkaz Bayesovy věty vychází z definice podmíněné pravděpodobnosti:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},{\text{ pokud }}P(B)\neq 0,}$

kde ${\displaystyle P(A\cap B)}$ je pravděpodobnost průniku jevů ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$. Symetricky:

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},{\text{ pokud }}P(A)\neq 0.}$

Vyjádřením pravděpodobnosti průniku v obou rovnicích a následným dosazením jedné rovnosti do druhé, získáme výslednou Bayesovu formuli:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)P(A)}{P(B)}},{\text{ pokud }}P(B)\neq 0.}$ ${\displaystyle \square }$

Alternativní forma Bayesovy věty

Při počítání s Bayesovou formulí je výhodné znát následující úpravu, jelikož často neznáme pravděpodobnost náhodných jevů, nýbrž pouze jejich pravděpodobnosti podmíněné.

Tato formule spočívá ve vhodné úpravě jmenovatele:

${\displaystyle P(B)=P(B\mid A)\cdot P(A)+P(B\mid \neg A)\cdot P(\neg A),}$

kde využíváme vztahu:

${\displaystyle B=(B\cap A)\cup (B\cap \neg A).}$

Po dosazení do původní věty tedy dostáváme:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \neg A)P(\neg A)}}.}$^[4]

Opět lze jednoduchými úvahami zobecnit pro více jevů. Mějme náhodné jevy ${\displaystyle A_{j}}$, ${\displaystyle j={1,...,k}}$. Pravděpodobnost jevu ${\displaystyle B}$ lze interpretovat jako sumu součinu pravděpodobností ${\displaystyle P(B\mid A_{j})}$ a ${\displaystyle P(A_{j})}$ (Věta o úplné pravděpodobnosti), tj.

${\displaystyle P(B)={\sum _{j}P(B\mid A_{j})P(A_{j})}.}$

Podmíněnou pravděpodobnost jevu ${\displaystyle P(A_{i}\mid B)}$ za pomocí výše zmíněných úvah vyjádříme následovně:

${\displaystyle P(A_{i}\mid B)={\frac {P(B\mid A_{i})P(A_{i})}{\sum \limits _{j}P(B\mid A_{j})P(A_{j})}}.}$

Příklady použití

Testování na drogy ^[5]

Nyní si ukažme příklad použití Bayesova pravidla při testování na drogy. Vyjdeme z předpokladů, že test na prokázání drog má senzitivitu 99 % a specificitu 99 %. Test se na první pohled zdá být docela přesný, ale pomocí Bayesovy věty lze ukázat, že netriviální procento testovaných může být nesprávně označeno za uživatele drog. Nechť je v testovaném podniku prevalence 0,5 %, tj. 0,5 % ze zaměstnanců drogy opravdu užívá.

Jaká je pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem drogy opravdu používá?

Označme si uživatele drog jako "A", "N" všechny ostatní. Nechť "+" znamená pozitivní test. Popišme si následující veličiny:

• ${\displaystyle P(A)}$ pravděpodobnost, že osoba je uživatelem drog (prevalence), tj. ${\displaystyle 0.005}$
• ${\displaystyle P(N)}$ pravděpodobnost, že osoba není uživatelem drog; zjistíme pomocí doplňkového jevu, tzn. ${\displaystyle 1-P(A)=0.995}$
• ${\displaystyle P(+\mid A)}$ pravděpodobnost, že test je pozitivní, když je osoba uživatelem drog; jinými slovy sensitivita testu: ${\displaystyle 0.99}$
• ${\displaystyle P(+\mid N)}$ je pravděpodobnost, že test bude pozitivní, i přesto, že osoba není uživatelem drog; lze interpretovat jako doplněk k specificitě testu: ${\displaystyle 0.01}$
• ${\displaystyle P(+)}$ je pravděpodobnost, že test bude pozitivní.

Pravděpodobnost ${\displaystyle P(+)}$ sice zadanou nemáme, ale lze ji vypočítat dle výše zmíněné formule:

${\displaystyle P(+)=P(+\mid A)\cdot P(A)+P(+\mid N)\cdot P(N)}$

Po dosazení dostáváme výsledek 1,49 %:

${\displaystyle P(+)=0.99\times 0.005+0.01\times 0.995=0.0149.}$

Díky těmto údajům můžeme vypočítat žádanou pravděpodobnost ${\displaystyle P(A\mid +)}$ pomocí Bayesovy věty:

${\displaystyle P(A\mid +)={\frac {P(+\mid A)P(A)}{P(+)}}={\frac {0.99\times 0.005}{0.0149}}=0.3322.}$

Všimněme si, že i přes vysokou specificitu a senzitivitu je výsledek testu poměrně nepřesný. U zaměstnance podniku s pozitivním testem je jen 33% pravděpodobnost, že je skutečně uživatelem drog.

Specificita a Sensitivita

Senzitivita testu (alt. citlivost testu) nám udává úspěšnost, s níž test zachytí přítomnost sledovaného stavu (nemoci)^[6] u daného subjektu. V našem příkladu to znamená, že test správně identifikuje skutečné uživatele drog v 99 % případů.

Specificita testu nám vyjadřuje úspěšnost, s níž test určí případy, u nichž zkoumaný stav (nemoc) nenastává. 99% specificita testu znamená, že test s 99% pravděpodobností správně vyloučí osobu, která drogy nepoužívá.

Odkazy

Reference

Související články

• Bayesovská statistika
• Bayesovské hry

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Bayesova věta na Wikimedia Commons

Zdroj