Banachova–Steinhausova věta

Banachova-Steinhausova věta neboli princip stejnoměrné omezenosti tvrdí, že je-li množina spojitých lineárních operátorů na Banachově prostoru omezená v každém bodě, pak je omezená. Větu uveřejnili roku 1927 Hugo Steinhaus a Stefan Banach, nezávisle na nich ji dokázal i Hans Hahn. Banachova-Steinhausova věta patří k základním tvrzením funkcionální analýzy.

Formálně přesně zní Banachova-Steinhausova věta v základní podobě takto: Nechť ${\displaystyle X}$ je Banachův prostor, ${\displaystyle N}$ normovaný vektorový prostor a ${\displaystyle F}$ množina spojitých lineárních operátorů z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle N}$. Potom platí

${\displaystyle \forall x\in X:\,\sup \left\{\,||T_{\alpha }(x)||:T_{\alpha }\in F\,\right\}<\infty \Rightarrow \ \sup \left\{\,||T_{\alpha }||:T_{\alpha }\in F\;\right\}<\infty .}$

Literatura

• Stefan Banach, Hugo Steinhaus. "Sur le principle de la condensation de singularités". Fundamenta Mathematicae, 9 50-61, 1927.

Zdroj