Substituce souřadnic

Substituční metoda je metoda používaná při počítání s integrály. Při této metodě zavádíme do integrálu novou proměnnou.

Pokud lze funkci ${\displaystyle f(x)}$ vyjádřit na intervalu ${\displaystyle (a,b)}$ ve tvaru ${\displaystyle f(x)=g(h(x))h^{\prime }(x)}$, kde ${\displaystyle h^{\prime }(x)}$ je spojitá v intervalu ${\displaystyle (a,b)}$ a ${\displaystyle g(z)}$ je spojitá pro všechna ${\displaystyle z=h(x)}$, pak pro ${\displaystyle x\in (a,b)}$ platí

${\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=\int g(h(x))h^{\prime }(x)\mathrm {d} x=\int g(z)\mathrm {d} z=G(z)+C=G(h(x))+C}$,

kde byla použita substituce ${\displaystyle z=h(x)}$.

Jiným případem je substituce ${\displaystyle x=\phi (z)}$, kde funkce ${\displaystyle \phi }$ je monotónní pro všechna ${\displaystyle z}$ z intervalu ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ a má na tomto intervalu spojitou derivaci ${\displaystyle \phi ^{\prime }}$. Potom platí

${\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=\int f(\phi (z))\phi ^{\prime }(z)\mathrm {d} z=H(z)+C}$

Výsledek získáme tak, že ze vztahu ${\displaystyle x=\phi (z)}$ vyjádříme proměnnou ${\displaystyle z}$ a dosadíme do ${\displaystyle H(z)+C}$.

Uvažujme uzavřenou n-rozměrnou oblast ${\displaystyle M}$ v proměnných ${\displaystyle x_{i}}$ pro ${\displaystyle i=1,2,...,n}$, a uzavřenou n-rozměrnou oblast ${\displaystyle N}$ v proměnných ${\displaystyle y_{i}}$. Mezi oblastmi ${\displaystyle M}$ a ${\displaystyle N}$ nechť existuje vzájemně jednoznačné zobrazení ${\displaystyle x_{i}=\phi _{i}(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$, přičemž existují spojité parciální derivace prvního řádu ${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial y_{j}}}}$ pro všechna ${\displaystyle i,j}$ a jakobián ${\displaystyle {\frac {D(x_{1},x_{2},...,x_{n})}{D(y_{1},y_{2},...,y_{n})}}}$ je nenulový, tzn. ${\displaystyle {\frac {D(x_{1},x_{2},...,x_{n})}{D(y_{1},y_{2},...,y_{n})}}\neq 0}$. Pokud je na oblasti ${\displaystyle M}$ definována spojitá ohraničená funkce ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$, pak

${\displaystyle {\iint \cdots \int }_{M}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{n}={\iint \cdots \int }_{N}f(\phi _{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n}),\phi _{2}(y_{1},y_{2},...,y_{n}),...,\phi _{n}(y_{1},y_{2},...,y_{n}))\left|{\frac {D(x_{1},x_{2},...,x_{n})}{D(y_{1},y_{2},...,y_{n})}}\right|\mathrm {d} y_{1}\mathrm {d} y_{2}\cdots \mathrm {d} y_{n}}$

V případě dvojného integrálu, kdy mezi oblastí ${\displaystyle M}$ o souřadnicích ${\displaystyle x,y}$ a oblastí ${\displaystyle N}$ o souřadnicích ${\displaystyle u,v}$ existuje vzájemně jednoznačné zobrazení ${\displaystyle x=x(u,v),y=y(u,v)}$, má jakobián tvar

${\displaystyle {\frac {D(x,y)}{D(u.v)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}}$

Je-li ${\displaystyle {\frac {D(x,y)}{D(u.v)}}\neq 0}$, pak dostaneme pro funkci ${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle \iint _{M}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{N}f(x(u,v),y(u,v))\left|{\frac {D(x,y)}{D(u.v)}}\right|\mathrm {d} u\mathrm {d} v}$

V případě trojného integrálu, kdy mezi oblastí ${\displaystyle M}$ o souřadnicích ${\displaystyle x,y,z}$ a oblastí ${\displaystyle N}$ o souřadnicích ${\displaystyle u,v,w}$ existuje vzájemně jednoznačné zobrazení ${\displaystyle x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)}$, má jakobián tvar

${\displaystyle {\frac {D(x,y,z)}{D(u.v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\end{vmatrix}}}$

Je-li ${\displaystyle {\frac {D(x,y,z)}{D(u.v,w)}}\neq 0}$, pak pro funkci ${\displaystyle f(x,y,z)}$ dostaneme výraz

${\displaystyle \iiint _{M}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\iiint _{N}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\left|{\frac {D(x,y,z)}{D(u.v,w)}}\right|\mathrm {d} u\mathrm {d} v\mathrm {d} w}$

• Substituce

• Encyklopedické heslo Substituce v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích

Zdroj