Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic ) je soustava křivočarých souřadnic v prostoru, v níž jedna souřadnice (označovaná r {\displaystyle r} ) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic , druhá souřadnice (označovaná φ {\displaystyle \varphi } ) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy x {\displaystyle x} a třetí souřadnice (označovaná θ {\displaystyle \theta } ) úhel mezi průvodičem a osou z {\displaystyle z} .
Sférické souřadnice se s mírnou obměnou užívají např. v zeměpisu jako zeměpisné souřadnice .
Sférická soustava souřadnic je obecně vhodná v problémech, které mají sférickou symetrii . Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.
Bod ve sférické soustavě souřadnic. Transformace sférických souřadnic na kartézské:
x = r sin θ cos φ {\displaystyle x=r\sin {\theta }\cos {\varphi }}
y = r sin θ sin φ {\displaystyle y=r\sin {\theta }\sin {\varphi }}
z = r cos θ {\displaystyle z=r\cos {\theta }\,}
Převod kartézských souřadnic na sférické :
r = x 2 + y 2 + z 2 , {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}
φ = arctg2 ( y , x ) , {\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg2} (y,x),}
θ = arccos ( z r ) , {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {z}{r}}\right),}
kde arctg2(x ,y ) je zobecnění funkce arkus tangens . Úhly volíme v rozsahu 0 ≤ θ ≤ π {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi } a 0 ≤ φ < 2 π {\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi } .
Jakobián transformace z kartézské do sférické soustavy souřadnic :
J = r 2 sin θ {\displaystyle J=r^{2}\sin \theta }
Délka infinitesimální úsečky se spočte jako
d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 θ d φ 2 . {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \varphi ^{2}.}
Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako
d V = r 2 sin θ d r d φ d θ , {\displaystyle \mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta ,}
takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes dané těleso vyjádřené ve sférických souřadnicích.
Externí odkazy
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-02-14 04:12:36
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Sférická soustava souřadnic )
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.