Relativistický Dopplerův jev

Relativistický Dopplerův jev popisuje změnu vlnové délky, která nastane, pokud se zdroj a příjemce elektromagnetického vlnění vůči sobě vzájemně pohybují. Na rozdíl od klasického Dopplerova jevu jsou započteny efekty dilatace času podle speciální teorie relativity. Pro rychlosti o několik řádů menší než rychlost světla je ale rozdíl předpovědi podle obou modelů zanedbatelný.

Výpočet jednorozměrného případu

Pokud se zdroj a pozorovatel od sebe pohybují po jedné přímce rychlostí ${\displaystyle v\,}$, pozorovaná frekvence ${\displaystyle f_{o}\,}$ se liší od frekvence zdroje ${\displaystyle f_{e}\,}$ takto:

${\displaystyle f_{o}={\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}\,f_{e}}$

kde ${\displaystyle c\,}$ je rychlost světla.

Odpovídající vlnová délka se změní takto:

${\displaystyle \lambda _{o}={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}\,\lambda _{e}}$

a výsledný rudý posuv ${\displaystyle z\,}$ může být popsán jako

${\displaystyle z+1={\frac {\lambda _{o}}{\lambda _{e}}}={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}}$

Pro nerelativistické rychlosti, tedy pro ${\displaystyle v\ll c\,}$, lze provést zjednodušující aproximaci:

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}\simeq -{\frac {v}{c}}\qquad {\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}\simeq {\frac {v}{c}}\qquad z\simeq {\frac {v}{c}}}$

což je klasický Dopplerův jev.

Poznámka: Vzorce platí pro objekty vzdalující se od sebe po jedné přímce. Pro přibližující se objekty je třeba dosadit rychlost záporně.

Zdroj