Pravděpodobnostní funkce

Pravděpodobnostní funkce (anglicky probability mass function, pmf) je funkce v teorii pravděpodobnosti a statistice, která udává pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina se přesně rovná nějaké hodnotě^[1]. Pravděpodobnostní funkce je často základní prostředek pro definování diskrétního pravděpodobnostního rozdělení, a taková funkce existuje jak pro skalární tak pro vícerozměrnou náhodnou veličinu, jejíž definiční obor je diskrétní.

Pravděpodobnostní funkce se liší od hustoty pravděpodobnosti (anglicky probability density function, pdf) tím, že se týká diskrétní místo spojité náhodné veličiny jako je tomu u hustoty pravděpodobnosti; hodnoty hustoty pravděpodobnosti nejsou pravděpodobnosti jako takové: hustotu pravděpodobnosti je nutné zintegrovat, abychom získali pravděpodobnost.^[2]

Formální definice

Předpokládejme, že X: Ω → A (${\displaystyle \subseteq \mathbb {R} }$) je diskrétní náhodná veličina definovaná na prostoru elementárních jevů Ω. Pak pravděpodobnostní funkce f_X: A → ⟨0, 1⟩ pro X je definovaná jako^[3][4]

${\displaystyle f_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr(\{\omega \in \Omega :X(\omega )=x\}).}$

Abychom se vyhnuli chybám, můžeme uvažovat o pravděpodobnosti jako o hmotě, protože fyzická hmota je zachována stejně jako celková pravděpodobnost pro všechny hypotetické výsledky x:

${\displaystyle \sum _{x\in A}f_{X}(x)=1}$

Když existuje přirozené pořadí mezi hypotézami x, může být pohodlné jim přiřadit numerické hodnoty (nebo n-ticím v případě diskrétní vícerozměrné náhodné veličiny) a uvažovat také hodnoty, které nejsou v obrazu množiny X. To znamená, že funkce f_X může být definovaná pro všechna reálná čísla a f_X(x) = 0 pro všechna x ${\displaystyle \notin }$ X(Ω), jak je znázorněno na obrázku.

Protože obraz X je spočetný, pravděpodobnostní funkce f_X(x) je nulová pro všechny hodnoty s výjimkou spočetného počtu hodnot x. Nespojitost pravděpodobnostní funkce plyne z faktu, že distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je také nespojitá. Pokud je derivovatelná, její derivace je nula, stejně jako pravděpodobnostní funkce je nulová ve všech takových bodech.

Příklady

Předpokládejme, že Ω je prostor elementárních jevů všech výsledků jediného hodu mincí a X je náhodná veličina definovaná na Ω přiřazením 0 „orlu“ a 1 „hlavě“; jedná se o alternativní rozdělení, které je speciálním případem binomického rozdělení pro počet hodů n=1. Pokud je mince poctivá, pravděpodobnostní funkce je

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x\in \{0,1\},\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}}$

Příkladem vícerozměrného diskrétního rozdělení a jeho pravděpodobnostní funkce je multinomické rozdělení.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Probability mass function na anglické Wikipedii.

Související články

• Náhodná veličina
• Rozdělení pravděpodobnosti

Literatura

• Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993) Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p 36)

Zdroj