Oscilace neutrin

Pomocí oscilace neutrin popisujeme u neutrina změnu hodnoty vnitřního kvantového čísla vůně během letu. Známy jsou 3 vůně neutrin (elektronové neutrino - ${\displaystyle \nu _{e}}$, mionové - ${\displaystyle \nu _{\mu }}$, tauonové - ${\displaystyle \nu _{\tau }}$). Když neutrino s jistou vůní vznikne v jednom bodě, v jiném bodě můžeme právě toto neutrino změřit, ale s jinou hodnotou vůně, než byla ta počáteční. Změna vůně neutrina záleží na vzdálenosti, jakou neutrino uletí od místa svého vzniku.

Neutrinové oscilace jsou v době psaní tohoto článku stěžejním bodem moderního pokroku ve fyzice, protože nejsou předpovězené standardním modelem částicové fyziky a mohou poskytovat nové informace o vlastnostech neutrin. Dodnes nejsou známy jejich hmotnosti nebo zda se liší od svých vlastních antičástic (zda se jedná o Majoranovy fermiony či Diracovy fermiony).^[1]

Oscilace neutrin byly předpovězeny jako oscilace neutrino-antineutrino již v 50. letech v analogii s oscilací kaonů. Po objevu mionového neutrina pak byly předpovězeny dnes pozorované oscilace mezi jednotlivými vůněmi neutrin. Za rok 2015 byla udělena Nobelova cena právě za experimentální potvrzení oscilací neutrin na projektech Super-Kamiokande a Sudbury Neutrino Observatory.

Většina neutrinových experimentů potvrzujících existenci oscilací je zaměřena hlavně na změření deficitu neutrin dané vůně proti očekávanému množství (tzv. mizející experiment). Neutrina jedné vůně mohou pomocí nabitých proudů (skrze W bosony) interagovat pouze s fermiony stejné vůně (elektron s elektronovým neutrinem ${\displaystyle \vert \nu _{e}\rangle }$, mion s mionovým neutrinem ${\displaystyle \vert \nu _{\mu }\rangle }$). Skrze neutrální proudy (přes Z bosony) mohou neutrina interagovat bez ohledu na svou vůni.^[2] Pro experiment prokazující přítomnost nadbytku mionových či [[tauonových neutrin tak v reálně proveditelných experimentech je třeba detekovat interakce přes neutrální proudy. V hmotě v detektoru je množství nestabilních mionů a tauonů proti elektronům vždy zanedbatelné a potřebujeme tak, aby mionová či tauonová neutrina interagovala právě s elektrony.

Pro popis obecných oscilací mezi třemi vůněmi neutrin stačí znát 6 parametrů: 2 rozdíly jejich hmot, 3 tzv. směšovací úhly ${\displaystyle \theta }$ a komplexní fázi ${\displaystyle \delta }$.^[3]

Oscilace neutrin znamenají, že vlastní interakční stavy neutrin (${\displaystyle \vert \nu _{f}\rangle }$ ${\displaystyle f=e,\mu ,\tau }$), které se podílejí na slabé interakci nejsou vlastními hmotnostními stavy neutrin (značené ${\displaystyle \vert \nu _{i}\rangle }$ ${\displaystyle i=1,2,3}$). Představa je taková, že neutrino vzniklé při reakci je superpozicí hmotnostních stavů a nemá přímo definovanou hmotu. Naopak jednotlivé hmotnostní stavy ${\displaystyle \vert \nu _{i}\rangle }$ nemají přímo definovanou vůni. Při volném letu se vlivem interference stavů ${\displaystyle \vert \nu _{i}\rangle }$ mění zastoupení pravděpodobností, s jakými změříme interakční stavy neutrin ${\displaystyle \vert \nu _{f}\rangle }$.

Hmotnostní i interakční stavy jsou superpozice (neboli lineární kombinace) jeden druhého.

${\displaystyle \vert \nu _{i}\rangle =\sum \limits _{f}\vert \nu _{f}\rangle \langle \nu _{f}\vert \nu _{i}\rangle =\sum \limits _{f}U_{fi}\vert \nu _{f}\rangle }$

${\displaystyle \vert \nu _{f}\rangle =\sum \limits _{i}\vert \nu _{i}\rangle \langle \nu _{i}\vert \nu _{f}\rangle =\sum \limits _{i}U_{fi}^{*}\vert \nu _{i}\rangle }$

Zde byly zadefinovány koeficienty jako prvky matice ${\displaystyle U_{fi}:=\langle \nu _{f}\vert \nu _{i}\rangle }$. ${\displaystyle U}$ nazýváme PMNS matice.

${\displaystyle \langle \nu _{f}\vert \nu _{i}\rangle =\langle {\bar {\nu }}_{f}\vert {\bar {\nu }}_{i}\rangle =\langle {\bar {\nu }}_{i}\vert {\bar {\nu }}_{f}\rangle ^{*}}$^{[pozn. 1]}

Podobné vztahy tedy platí i pro antineutrina ${\displaystyle \vert {\bar {\nu }}_{f,i}\rangle }$.

${\displaystyle \vert {\bar {\nu }}_{i}\rangle =\sum \limits _{f}U_{fi}^{*}\vert {\bar {\nu }}_{f}\rangle }$

${\displaystyle \vert {\bar {\nu }}_{f}\rangle =\sum \limits _{i}U_{fi}\vert {\bar {\nu }}_{i}\rangle }$

Kvůli zachování celkové pravděpodobnosti je třeba, aby ${\displaystyle U}$ byla unitární. Pro volné neutrino popsané pomocí rovinné vlny můžeme explicitně napsat jeho vývoj v čase.

${\displaystyle \vert \nu _{i}({\vec {r}},t)\rangle =e^{-(i)/(\hbar c)P_{i}\cdot (ct,r)}\vert \nu _{i}\rangle =e^{-(i)/(\hbar c)(ctE_{i}-{\vec {p}}\cdot {\vec {r}})}\vert \nu _{i}\rangle =e^{-i\phi ({\vec {r}},t)}\vert \nu _{i}\rangle }$

Díky předchozímu vztahu můžeme explicitně napsat i časový vývoj pro interakční stav ${\displaystyle \vert \nu _{f}\rangle }$.

${\displaystyle \vert \nu _{f}({\vec {r}},t)\rangle =\sum \limits _{i}e^{-i\phi ({\vec {r}},t)}U_{fi}^{*}\vert \nu _{i}\rangle }$

Amplitudu pravděpodobnosti přechodu spočteme standardním způsobem pomocí skalárního součinu počátečního a koncového stavu neutrina.

${\displaystyle A_{\nu _{f}\to \nu _{g}}=\langle \nu _{g}\vert \nu _{f}({\vec {r}},t)\rangle =\sum \limits _{i}e^{-i\phi ({\vec {r}},t)}U_{ji}^{*}\langle \nu _{g}\vert \nu _{i}\rangle =\sum \limits _{i}e^{-i\phi ({\vec {r}},t)}U_{ji}^{*}U_{gi}}$^[4]

Z předchozích vztahů platí, že pravděpodobnost přechodu u neutrin je stejná jako u antineutrin, pokud zaměníme pořadí počátečního a koncového stavu vůně (${\displaystyle f\longleftrightarrow g}$).

${\displaystyle P_{\nu _{f}\to \nu _{g}}=P_{{\bar {\nu }}_{g}\to {\bar {\nu }}_{f}}.}$

Matice ${\displaystyle U}$ je plně popsána čtyřmi reálnými parametry: 3 mixační úhly ${\displaystyle \theta _{12},\theta _{13},\theta _{23}}$ a komplexní fáze ${\displaystyle \delta }$. Pokud by neutrina byla Majoranovské fermiony, pro popis matice ${\displaystyle U}$ by byly potřeba ještě další 2 čísla - relativní fáze ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$ mezi jednotlivými hmotnostními stavy neutrin.

Pro zkrácení zápisu zaveďme ${\displaystyle s_{ij}=\sin(\theta _{ij}),c_{ij}=\cos(\theta _{ij})}$. Matici ${\displaystyle U}$ můžeme rozepsat jako násobek matic, které jednotlivě zajišťují unitární transformaci mezi dvěma stavy. Díky požadavku unitárnosti každé z matic je jejich tvar podobný jako u matic rotace ve 3D.

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta }\\0&1&0\\-s_{13}e^{+i\delta }&0&c_{23}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ~~~~={\begin{pmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta }\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{+i\delta }&+c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{+i\delta }&s_{23}c_{13}\\+s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{+i\delta }&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{+i\delta }&c_{23}c_{13}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Oscilace neutrin jsou nezávislé na relativních fázích ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$ a z hlediska měření nehrají v oscilacích žádnou fyzikálně relevantní roli, můžeme je proto zanedbat ${\displaystyle \alpha _{1}=0,\alpha _{2}=0}$. Když položíme ${\displaystyle s_{13}=0,c_{13}={\sqrt {1-(s_{13})^{2}}}=1}$ z rovnosti

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\nu _{e}\\\nu _{\mu }\\\nu _{\tau }\end{pmatrix}}=U^{*}{\begin{pmatrix}\nu _{1}\\\nu _{2}\\\nu _{3}\end{pmatrix}}=U{\begin{pmatrix}\nu _{1}\\\nu _{2}\\\nu _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}c_{23}&+c_{12}c_{23}&s_{23}\\+s_{12}s_{23}&-c_{12}s_{23}&c_{23}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\nu _{1}\\\nu _{2}\\\nu _{3}\end{pmatrix}}}$^{[pozn. 2]}

dostáváme, že stav elektronového neutrina můžeme přibližně popsat jako superpozici pouze dvou hmotnostních stavů

${\displaystyle \vert \nu _{e}\rangle =c_{12}\vert \nu _{1}\rangle +s_{12}\vert \nu _{2}\rangle }$.

Tato aproximace funguje poměrně dobře, protože v realitě je ${\displaystyle s_{13}=\sin(\theta _{13})}$ malé číslo.

Experimentálně změřené parametry neutrinových oscilací^[5]

parametr	střední hodnota s odchylkou ${\displaystyle 1\sigma }$ (${\displaystyle 3\sigma }$)
${\displaystyle \theta _{12}}$	${\displaystyle 34,4\pm 1,0\left(^{+3,2}_{-2,9}\right)^{\circ }}$
${\displaystyle \theta _{13}}$	${\displaystyle 5,6_{-2,7}^{+3,0}\left(^{+12,5}_{-12,5}\right)^{\circ }}$
${\displaystyle \theta _{23}}$	${\displaystyle 42,8_{-2,9}^{+4,7}\left(^{+10,7}_{-7,3}\right)^{\circ }}$
${\displaystyle \Delta m_{21}^{2}}$	${\displaystyle 7,59\pm 0,20\left(^{+0,61}_{-0,69}\right)10^{-5}eV^{2}}$
${\displaystyle \Delta m_{31}^{2}\simeq \Delta m_{32}^{2}}$	${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&-2,36\pm 0,11(\pm 0,37)\\&+2,46\pm 0,12(\pm 0,37)\end{aligned}}\right.10^{-3}eV^{2}}$[pozn. 3]
${\displaystyle \delta }$	?

Díky malé hodnotě mixačního úhlu ${\displaystyle \theta _{13}}$ je míšení mezi stavy ${\displaystyle \vert \nu _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle \vert \nu _{3}\rangle }$ zanedbatelné a vývoj elektronového neutrina ${\displaystyle \vert \nu _{e}\rangle }$, jež je kombinací hmotových stavů ${\displaystyle \vert \nu _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle \vert \nu _{2}\rangle }$ můžeme v aproximaci popsat jako oscilaci pouze této dvojice stavů mezi sebou. Omezení se pouze na 2 stavy umožní používat PMNS matici o rozměru ${\displaystyle 2\times 2}$. I tato matice ${\displaystyle 2\times 2}$ musí být unitární a tudíž nabývá stejného tvaru jako matice rotace.

${\displaystyle U=U^{*}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\\-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}}$

Systém dvou hmotnostních stavů neutrin je tak popsatelný pomocí jediného mixačního úhlu ${\displaystyle \theta }$. Za předpokladu, že neutrina se pohybují téměř rychlostí světla (${\displaystyle x\approx ct\implies \partial _{t}\approx c\partial _{x}}$) napíšeme pro stavy časovou Schrödingerovu rovnici.

${\displaystyle i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\nu _{1}(x)\\\nu _{2}(x)\end{pmatrix}}\approx i\hbar c\partial _{x}{\begin{pmatrix}\nu _{1}(x)\\\nu _{2}(x)\end{pmatrix}}=U{\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\end{pmatrix}}U^{+}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\\-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\nu _{1}(x)\\\nu _{2}(x)\end{pmatrix}}}$

Pro zjednodušené vyjádření energií ještě jednou použijeme v aproximaci nízkou hmotu neutrin a napíšeme pomocí taylorova rozvoje výraz pro energii.

${\displaystyle E_{i}={\sqrt {m_{i}^{2}+p^{2}}}\approx p+{\frac {m_{i}^{2}}{2p}}\approx p+{\frac {m_{i}^{2}}{2E}}}$

Pro zkrácení si zavedeme veličinu ${\displaystyle \Delta m_{ij}^{2}=m_{i}^{2}-m_{j}^{2}=-\Delta m_{ji}^{2}}$. Matice v předchozím vztahu roznásobíme a použijeme trigonometrické identity pro dvojnásobný úhel.

${\displaystyle i\hbar c\partial _{x}{\begin{pmatrix}\nu _{1}(x)\\\nu _{2}(x)\end{pmatrix}}={\frac {-\Delta m_{12}^{2}}{4E}}{\begin{pmatrix}-\cos(2\theta )&\sin(2\theta )\\\sin(2\theta )&\cos(2\theta )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\nu _{1}(x)\\\nu _{2}(x)\end{pmatrix}}}$

Řešením této diferenciální rovnice jsou kýžené pravděpodobnosti přechodu mezi stavy (za x dosadíme uraženou vzdálenost ${\displaystyle L}$).

${\displaystyle P_{\nu _{1}\to \nu _{2}}(L)=1-\sin ^{2}(2\theta )\sin ^{2}\left({\frac {\Delta m_{12}^{2}L}{4\hbar cE}}\right)}$

${\displaystyle P_{\nu _{2}\to \nu _{1}}(L)=1-P_{\nu _{1}\to \nu _{2}}(L)=\sin ^{2}(2\theta )\sin ^{2}\left({\frac {\Delta m_{12}^{2}L}{4\hbar cE}}\right)}$

Amplituda oscilací mezi hmotnostními stavy je úměrná ${\displaystyle \sin ^{2}(2\theta )}$, kde ${\displaystyle \theta =\theta _{12}}$ je směšovací úhel mezi stavy ${\displaystyle \vert \nu _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle \vert \nu _{2}\rangle }$. Prostorová frekvence oscilací je úměrná kvadrátu rozdílu hmotností stavů ${\displaystyle \Delta m_{21}^{2}}$. Z oscilací ${\displaystyle \vert \nu _{1}\rangle }$ můžeme získat oscilace interakčních stavů ${\displaystyle \vert \nu _{f}\rangle }$.

${\displaystyle P_{\nu _{e}\to \nu _{e}}(L)=1-\sin ^{2}(2\theta )\sin ^{2}\left({\frac {\Delta m_{12}^{2}L}{4\hbar cE}}\right)}$

Díky tomu, že rozdíl hmotností ${\displaystyle \Delta m_{21}^{2}}$ je proti ${\displaystyle \Delta m_{31}^{2}}$ tak malý, oscilace elektronového neutrina se odehrávají s asi 30krát delší periodou a díky velikosti směšovaího úhlu mají velkou amplitudu.

Pokud bychom nezanedbali směšování s třetím hmotnostním stavem, výsledné rovnice pro ${\displaystyle \vert \nu _{f}\rangle }$ by byly podstatně delší.

${\displaystyle P_{\nu _{e}\to \nu _{e}}=1-\sin ^{2}(2\theta _{13})\left(\cos ^{2}(\theta _{12})\sin ^{2}\left({\frac {\Delta m_{31}^{2}L}{4\hbar cE}}\right)+\sin ^{2}(\theta _{12})\sin ^{2}\left({\frac {\Delta m_{32}^{2}L}{4\hbar cE}}\right)\right)-\cos ^{4}(\theta _{13})\sin ^{2}(2\theta _{12})\sin ^{2}\left({\frac {\Delta m_{21}^{2}L}{4\hbar cE}}\right)}$^[6]

Směšovací úhly mohou být ovlivněny hmotou, kterou neutrino prochází. Oscilace elektronového neutrina jsou silně potlačeny například průchodem skrz hmotu slunce, což způsobuje měřitelné rozdíly v zastoupení u slunečních neutrin.

Oscilace neutrin poskytují velmi přesnou metodu pro změření velikostí rozdílů jejich hmot. Díky tomuto jevu je známo, že alespoň 2 interakční neutrinové stavy mají nenulové hmoty.

Pořadí velikostí hmot neutrin je stále neznámé, ale změřené velikosti rozdílů hmotností omezují možná pořadí pouze na 2 možnosti (elektronové neutrino nejlehčí a tauonové nejtěžší nebo naopak).

Případné zjištění nenulové fáze ${\displaystyle \delta }$ v PMNS matici by přímo dokazovalo narušení CP symetrie.

• DAVÍDEK, Tomáš; LEITNER, Rupert. Elementární částice od prvních objevů po současné experimenty. 1. vyd. [s.l.]: Matfyzpress, 2012. 200 s. ISBN 978-80-7378-205-4. S. 169-183. 
• KAYSER, Boris. NEUTRINO MASS, MIXING, AND OSCILLATION [online]. [cit. 2025-06-04]. Dostupné online. (anglicky) 

• Neutrino
• Narušení CP-symetrie
• CPT symetrie

Zdroj