Nevlastní integrál

Klasický Riemannův určitý integrál je definovaný na intervalu konečné délky. Někdy je nutné integrovat i na polopřímce nebo na celé přímce. K tomu se používá nevlastní integrál, který je zaveden použitím limitního přechodu v integrálu na intervalu konečné délky.

Definice

Jestliže funkce ${\displaystyle f}$ je integrovatelná na každém konečném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ a existuje vlastní limita:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\mathrm {d} x}$

respektive:

${\displaystyle \lim _{t\to -\infty }\int _{t}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$

pak tuto limitu nazýváme konvergentním nevlastním integrálem s nekonečnými mezemi [nevlastní integrálem vlivem intervalu] a píšeme:

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$

respektive:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\mathrm {d} x}$

Jestliže uvedené limity neexistují, říkáme, že nevlastní integrál diverguje [je divergentní].

Konvergují-li integrály:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\mathrm {d} x,\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$.

říkáme, že integrál

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$.

konverguje [je konvergentní], a píšeme:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{a}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x.}$

Neexistuje-li aspoň jeden z integrálů ${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\mathrm {d} x}$ a ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$, říkáme, že integrál ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$ diverguje [je divergentní]

Poznámka. Stejným způsobem je možno rozšířit integrál i na neohraničené funkce. Například

V praxi proto rozlišujeme nevlastní integrál vlivem funkce a nevlastní integrál vlivem meze.

Související články

• Primitivní funkce
• Riemannův integrál
• Lebesgueův integrál
• Kurzweilův integrál

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Nevlastní integrál na Wikimedia Commons

Zdroj