V matematice říká nerovnost aritmetického a geometrického průměru (krátce AG nerovnost), že aritmetický průměr nezáporných čísel je vždy větší nebo roven geometrickému průměru těchto čísel. Navíc, rovnost nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná čísla stejná.
Tvrzení
Formálně se nerovnost zapíše
-
,
nebo zkráceně
případně ekvivalentně
-
.
Důkaz
Pro dvě čísla elementární, ekvivalentní vztahu
-
,
také názorně plyne z Euklidovy věty o výšce.
Nabízí se důkaz matematickou indukcí, je však obtížný. Cauchy zde však elegantně použil techniku tzv. sestupné indukce.
Tvrzení bezprostředně plyne z Jensenovy nerovnosti a existuje i celá řada elementárnějších důkazů, např. Pólyův pomocí nerovnosti
-
.
AG nerovnost je rovněž ekvivalentní nerovnosti mezi geometrickým a harmonickým průměrem.
Odkazy
Související články
Externí odkazy
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-04-04 21:08:04
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Nerovnost aritmetického a geometrického průměru)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.