Nepřímý důkaz (matematika)

Nepřímý důkaz se v logice a v matematice používá k dokázání matematických vět tvaru implikace ${\displaystyle P\rightarrow T}$, tj. vět tvaru „Jestliže platí předpoklad P, pak platí také tvrzení T“. Spočívá v tom, že se z negace výroku ${\displaystyle T}$ odvodí negace výroku ${\displaystyle P}$, tj. dokáže se tvrzení ${\displaystyle \neg T\rightarrow \neg P}$. V důkazu lze využít usuzování pomocí schématu modus tollens.

Jinými slovy je to konečná postupnost správných kroků, z nichž každý vyplývá z předcházejících, přičemž prvním krokem je negace závěru tvrzení a výsledkem posledního kroku je negace předpokladu nebo jiného platného tvrzení.

Dokázáním implikace ${\displaystyle \neg T\rightarrow \neg P}$ je již skutečně dokázáno i ${\displaystyle P\rightarrow T}$. Pokud totiž ${\displaystyle P}$ platí, musí platit i ${\displaystyle T}$, jinak by totiž platilo ${\displaystyle \neg T}$ a podle dokázané implikace ${\displaystyle \neg P}$, tedy by neplatilo ${\displaystyle P}$.

Specifická forma nepřímého důkazu, zpravidla považovaná za zvláštní formu důkazu, je důkaz sporem. Každý nepřímý důkaz lze převést na důkaz sporem. Dokazujeme-li totiž implikaci ${\displaystyle P\rightarrow T}$ nepřímo, tj. dokazujeme-li ${\displaystyle \neg T\rightarrow \neg P}$, lze před celý důkaz tohoto tvrzení přidat větu „Předpokládejme pro spor, že platí ${\displaystyle P}$ neplatí ${\displaystyle T}$.“ a po dokázání ${\displaystyle \neg P}$ zakončit důkaz konstatováním „…, což je spor s předpokladem.“ Tím je nepřímý důkaz převeden na důkaz sporem.

• Nepřímý důkaz tvrzení „Pro každá dvě celá čísla ${\displaystyle \,a}$, ${\displaystyle \,b}$, pokud ${\displaystyle a\cdot b=0}$, pak ${\displaystyle \,a=0}$ nebo ${\displaystyle \,b=0}$“ lze provést následovně:

Nechť platí negace závěru, tj. ${\displaystyle \,a}$ i ${\displaystyle \,b}$ jsou nenulové.

Pak ${\displaystyle \,|a|}$ i ${\displaystyle \,|b|}$ jsou ${\displaystyle >0}$.

Tedy ${\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot |b|>0}$.

A proto ${\displaystyle a\cdot b\neq 0}$.

• Jestliže platí „jestliže mám peníze, tak si koupím auto“ a auto si nekoupím, tak nemám peníze.

• Přímý důkaz
• Matematická indukce

Zdroj