Nekonečný součin

Nekonečný součin je pojem matematické analýzy. Pro nekonečnou posloupnost a₁, a₂, a₃,… je nekonečný součin

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot \cdots }$

roven limitě posloupnosti částečných součinů a₁a₂...a_n kde n roste k nekonečnu. Pokud taková limita existuje a je nenulová, pak se o součinu říká, že konverguje, a jeho hodnota je rovna hodnotě limity, jinak se o součinu říká, že diverguje.

Pokud součin konverguje, musí být limita posloupnosti a_n rovna jedné. V takovém případě je logaritmus log a_n definován pro všechna a_n a platí:

${\displaystyle \log \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\log a_{n}}$

což umožňuje vyšetřovat konvergenci nekonečných součinů pomocí nástrojů pro vyšetřování konvergence nekonečných řad.

Zdroj