Nakloněná rovina

Nakloněná rovina je jednoduchý stroj, jehož jedinou částí je rovina nakloněná vzhledem k vodorovnému směru, po níž se pohybuje těleso.

Specifickou formou nakloněné roviny je závit šroubu představující nakloněnou rovinu navinutou na válec. Také klín představuje v podstatě variantu nakloněné roviny.

Nakloněná rovina zmenší sílu potřebnou ke zvednutí tělesa (břemene). Velikost potřebné síly závisí na sklonu roviny, neboli na poměru délky k výšce nakloněné roviny. Nezmenšuje však množství práce potřebné k vykonání pohybu.

Odvození základních vztahů

Víme, že síly lze rozkládat. Pokud rozložíme sílu F_G, tak vzniknou dvě síly navzájem kolmé, které se zrovna jmenují F₁ a F_n.

Tyto síly dohromady tvoří obdélník, jehož úhlopříčkou (výslednicí) je právě tíhová síla F_G.

Na těleso působí sil hned několik:

• První síla F₁ se snaží posouvat (sklouznout) těleso dolů po nakloněné rovině, přičemž její velikost je dána vztahem

${\displaystyle F_{1}=F_{G}\cdot \sin \alpha }$

Kde F_G je tíhová síla tělesa daná vztahem: ${\displaystyle F_{G}=m\cdot g}$

přičemž m je hmotnost tělesa a g tíhové zrychlení.

• Druhá síla F_n je síla přítlačná (normálová), která tlačí těleso proti podložce, tedy kolmo k nakloněné rovině. Její velikost je:

${\displaystyle F_{n}=F_{G}\cdot \cos \alpha =m\cdot g\cdot \cos \alpha }$

• Síla třecí, F_t způsobuje tření a zabraňuje tělesu posouvat se tak rychle. Její velikost se vypočítá

${\displaystyle F_{t}=f\cdot F_{n}}$ neboli (po dosazení z předchozího odvození) ${\displaystyle F_{t}=f\cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha }$

Kde F_n je síla přítlačná a f součinitel smykového tření.

Zrychlení na nakloněné rovině

Známe tedy tyto síly

${\displaystyle F_{1}=F_{G}\cdot \sin \alpha }$

${\displaystyle F_{t}=f\cdot F_{G}\cdot \cos \alpha }$, respektive ${\displaystyle F_{t}=f\cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha }$

Tyto síly jsou důležité, protože F₁ chce těleso posunout šikmo dolů po nakloněné rovině, zatímco F_t tomu zabraňuje.

Pro zjištění výsledné síly platí vztah

${\displaystyle F=F_{1}-F_{t}}$

dosadíme:

${\displaystyle F=(F_{G}\cdot \sin \alpha )-(f\cdot F_{G}\cdot \cos \alpha )}$

Na pravé straně vytkneme F_G

${\displaystyle F=F_{G}\cdot (\sin \alpha -f\cdot \cos \alpha )}$

Podle druhého Newtonova zákona, platí že síla je rovna součinu hmotnosti a zrychlení

${\displaystyle m\cdot a=m\cdot g\cdot (\sin \alpha -f\cdot \cos \alpha )}$

celou rovnici vydělíme m a získáme výsledný vztah:

${\displaystyle a=g\cdot (\sin \alpha -f\cdot \cos \alpha )}$

Odvození velikosti zrychlení na nakloněné rovině

Pokud se má těleso pohybovat, musí mít zrychlení, které musí být nenulové aby těleso zrychlovalo nebo zpomalovalo. Pokud je zrychlení nulové, pohybuje se těleso konstantní rychlostí (v praxi kvůli tření nemožné).

Předchozí vzorec je součin, a ten je roven nule tehdy, pokud je jeden z činitelů nula. Je zřejmé, že tíhové zrychlení být nula nemůže (g=9,81 m/s²)

znamená to tedy, že

${\displaystyle \sin \alpha -f\cdot \cos \alpha >0}$

Přičteme f × cos α

${\displaystyle \sin \alpha >f\cdot \cos \alpha }$

vydělíme cos α

${\displaystyle {\frac {sin\alpha }{cos\alpha }}>f}$ respektive ${\displaystyle {\frac {\frac {protilehla\ odvesna}{prepona}}{\frac {prilehla\ odvesna}{prepona}}}>f}$ převedeme složený zlomek na součin ${\displaystyle {\frac {protilehla\ odvesna}{prepona}}\times {\frac {prepona}{prilehla\ odvesna}}>f}$ a zkrátíme

a protože tangenta úhlu je definována jako ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {protilehla\ odvesna}{prilehla\ odvesna}}}$, tak dostane kýžený vztah

${\displaystyle \tan \alpha >f}$

Závislost tangenty úhlu na zrychlení

je tedy zřejmé, že ${\displaystyle \tan \alpha >f}$ odpovídá ${\displaystyle a>0}$, protože když bude součinitel smykového tření velmi malý, bude zrychlení větší.

Mohou nastat tyto případy:

1. ${\displaystyle \tan \alpha >f}$ neboli ${\displaystyle a>0}$ těleso zrychluje (f ho neudrží)
2. ${\displaystyle \tan \alpha =f}$ neboli ${\displaystyle a=0}$ těleso je v klidu (f ho těsně udrží) nebo v rovnoměrném pohybu
3. ${\displaystyle \tan \alpha <f}$ neboli ${\displaystyle a<0}$ těleso je v klidu (stojí, protože f ho udrží) nebo při udělení rychlosti bude zpomalovat (f je velké)

Historie zkoumání nakloněné roviny

Jordanus Nemorarius (nebo také Jordanus de Nemore) již ve 13. století zkoumal problémy statiky a v díle De ratione ponderis konstatoval, že tlak tělesa ležícího na nakloněné rovině je tím menší, čím je větší náklon roviny.^[1] Tím již částečně předjímal představu rozkladu síly do složek, kterou s geniální intuicí prozkoumal a plně uplatnil až holandský renesanční matematik Simon Stevin, známý jako Simon z Brugg^[2], který zavedl pojem silový rovnoběžník.^[2][3]

Velký význam pro mechaniku měly Galileovy pokusy z přelomu 16. a 17. století s válením koulí v hladkých žlábcích na nakloněné rovině, tzv. "Galileův padostroj". Tyto pokusy umožnily studium rovnoměrně zrychleného pohybu, snadnější určení tíhového zrychlení než při volném pádu, a také zjištění, že stejně těžkým tělesům uděluje stejná síla stejné zrychlení.^[4]

Odkazy

Reference

Související články

• Mechanika
• Jednoduchý stroj

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu nakloněná rovina na Wikimedia Commons

Zdroj