Maxwellův tenzor

V elektrodynamice se pojmem Maxwellův tenzor označuje tenzor napětí vyjadřující tok hybnosti elektromagnetického pole zvolenou plochou. V jednotkách SI je pro izotropní prostředí dán vztahem

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\delta }}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {E} \otimes \mathbf {D} -\mathbf {H} \otimes \mathbf {B} ,}$

kde δ značí jednotkový tenzor druhého řádu, resp. analogicky ve složkách jako

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{2}}\delta _{ij}\left(E_{k}D_{k}+H_{k}B_{k}\right)-E_{i}D_{j}-H_{i}B_{j}.}$

S pomocí Maxwellova tenzoru lze formulovat zákon zachování hybnosti pro elektromagnetické pole jako rovnici kontinuity

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {g} }{\partial t}}+\mathrm {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}=-\mathbf {f} ,}$

kde ${\displaystyle \mathbf {f} }$ je hustota síly působící na daný objem a ${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {D} \times \mathbf {B} }$ je hustota hybnosti elektromagnetického pole. Analogicky ve složkách

${\displaystyle {\frac {\partial g_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}=-f_{i}.}$

V teorii relativity se používá obecnější tenzor, který se označuje jako tenzor elektromagnetického pole.

Použijeme-li čtyřpotenciál elektromagnetického pole ve tvaru

${\displaystyle A_{\iota }=(\varphi ,-c\mathbf {A} )}$,

kde ${\displaystyle \varphi }$ je skalární potenciál elektrostatického pole a ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je vektorový potenciál magnetického pole, pak z parciálních derivací čtyřpotenciálu podle prostoročasových souřadnic lze vytvořit antisymetrický tenzor druhého řádu

${\displaystyle F_{\iota \kappa }={\frac {\partial A_{\kappa }}{\partial x^{\iota }}}-{\frac {\partial A_{\iota }}{\partial x^{\kappa }}}}$

pro ${\displaystyle \iota ,\kappa =0,1,2,3}$. Tento tenzor se nazývá tenzorem elektromagnetického pole.

Složky tenzoru elektromagnetického pole je možné vyjádřit prostřednictvím složek elektrické intenzity ${\displaystyle \mathbf {E} }$ a magnetické intenzity ${\displaystyle \mathbf {H} }$

${\displaystyle F_{\iota \kappa }={\begin{pmatrix}0&-E_{1}&-E_{2}&-E_{3}\\E_{1}&0&H_{3}&-H_{2}\\E_{2}&-H_{3}&0&H_{1}\\E_{3}&H_{2}&-H_{1}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-E_{i}\\E_{k}&H_{ik}\end{pmatrix}}}$,

kde ${\displaystyle \iota ,\kappa =0,1,2,3}$ a ${\displaystyle i,k=1,2,3}$.

Pro složky kontravariantního tenzoru pak dostaneme

${\displaystyle F^{\iota \kappa }={\begin{pmatrix}0&E^{1}&E^{2}&E^{3}\\-E^{1}&0&H^{3}&-H^{2}\\-E^{2}&-H^{3}&0&H^{1}\\-E^{3}&H^{2}&-H^{1}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&E^{i}\\-E^{k}&H^{ik}\end{pmatrix}}}$

• Tenzor energie a hybnosti elektromagnetického pole
• Poyntingův vektor
• Hustota hybnosti elektromagnetického pole
• Maxwellovy rovnice
• Rovnice kontinuity

Zdroj