Matematická logika

Matematická logika je vědní disciplína nacházející se na rozhraní mezi logikou a matematikou. Zabývá se zkoumáním, formalizováním a matematizováním zejména těch oblastí logiky, na jejichž základech je postavena matematika. V centru jejího zájmu jsou pojmy jako důkaz, teorie, axiomatizace, model, bezespornost, úplnost, rozhodnutelnost.

Rozhodnutelnost je vlastnost exaktního světa, nelze ji instalovat v přirozeném světě vágní a subjektivní lidské psýchy. Jakákoliv logika může být postavena pouze v exaktním světě nad umělým formálním jazykem^[1].. Slovní Aristotelskou logiku používající přirozený jazyk, je tak nutno považovat pouze za předobraz logiky, i když z hlediska vývoje logiky významný.

Matematická logika je exaktní věda

Matematická (též formální) logika je založena a budována jako exaktní věda. Její exaktnost (podobně jako jiných exaktních věd) tkví v tom že, jak formální (matematické) objekty, tak i operace nad nimi jsou exaktně vytyčeny (tj. s nulovou vnitřní vágností ^[2], ^[3] významu), tedy tak, že každý ve formální logice (v dané exaktní vědě) vzdělaný člověk naprosto přesně (bez jakýchkoli pochyb) ví, co znamenají. To je podstata exaktnosti této disciplíny. V exaktních vědách se objevuje ještě jinak chápaná exaktnost, a to použitých metod a jimi získaných výsledků. Používají se metody exaktní (viz Matematika), pokud jsou k dispozici, a pokud nejsou, tak i přibližné. Jazyk logiky je formální jazyk a může reprezentovat (vypovídat o, popisovat) pouze entity exaktního světa. Nelze tedy např. ve formální logice za proměnnou považovat konstrukt přirozeného jazyka (slovo, větu), neboť má inherentně vágní, subjektivní a emocionální interpretaci (říkáme jí konotace), což je v rozporu s požadavkem příslušnosti do exaktního světa ^[4]. Je to omyl, se kterým se lze setkat v některých učebnicích logiky a umělé inteligence, porušením podmínky exaktní interpretace, a tak vybočením z hranic exaktního světa. Nelze zaměňovat (poměrně volně chápanou) logiku a formální logiku. Entity reálného světa může formální logika reprezentovat pouze prostřednictvím veličin, které mají tu vlastnost, že jsou měřitelnou elementární součástí světa reálného (sondami do něho, či jeho zástupci), i součástí světa exaktního (mají exaktní interpretaci), a tak tvoří most mezi oběma světy. Poznání uskutečněné s použitím veličin nazýváme umělé (exaktní Newtonovo) a poskytuje znalosti s nulovou vnitřní vágností viz věda. I formální jazyky musí (z mnoha důvodů) být schopny reprezentovat informaci s vágností. Jelikož vnitřní vágnost to být nemůže (z principu nesmí), může to být pouze jazykově uchopitelná nejistota (vnější vágnost), a pro ten účel je k dispozici (jazykové rozšíření o) popis fuzzy nebo stochastickými hodnotami veličin, a fuzzy či stochastickými vztahy mezi veličinami. Takové rozšíření expanduje aplikovatelnost jazyka - jeho vyjadřovací sílu. Princip je ten, že připustíme-li více nejistoty, můžeme se dovědět (viz poznání, věda), a tak i jazykově reprezentovat (tedy i sdělovat) více. Na toto reaguje formální logika budováním svých modifikací umožňujících reprezentovat a zpracovávat informaci s (jazykově uchopitelnou, tedy vnější) nejistotou, jako např. fuzzy logika.

Základní disciplíny

Současná matematická logika se dělí na tři rozsáhlé disciplíny, které spolu úzce souvisejí. Jsou to teorie důkazu, teorie modelů a teorie aritmetiky.

• Teorie důkazu se zabývá vytvářením a zkoumáním různých formálních deduktivních systémů jakožto základů pro pojem formálního důkazu. Používá čistě finitní metody nejčastěji aplikované na konečné posloupnosti znaků či slov.
• Teorie modelů se zabývá zkoumáním obecného pojmu matematické struktury a platnosti nějakého tvrzení v této struktuře. Zejména se zajímá o pojmy jako jsou homomorfismus struktur, definovatelnost, axiomatizovatelnost, saturovanost, elementární vnoření. Zcela běžně používá infinitní metody teorie množin a výsledky, kterých lze v teorii modelů dosáhnout, jsou často závislé na přijetí či odmítnutí nějakého dodatečného množinového axiomu (axiom výběru, zobecněná hypotéza kontinua).
• Teorie aritmetiky se zabývá zkoumáním formálních aritmetických systémů jako jsou Robinsonova a Peanova aritmetika a struktury v nich definovatelných množin přirozených čísel. Úzce souvisí s teoretickou informatikou zejména s teorií rekurze a teorií složitosti. Zajímá se také o možnosti „aritmetizace logiky“, tj. vyjádření některých logických pojmů, postupů a tvrzení v řeči přirozených čísel, a o to, jaké důsledky tato aritmetizace přináší (jedním z nich jsou například slavné Gödelovy věty o neúplnosti).

Obor pravdivosti

Obor pravdivosti je množina sdělení, pro kterou je výrok pravdivý. Tato množina tvoří podmnožinu definičního oboru.

Příklad

V: x > 5

D(V) ∈ R
P(V) = (5;∞)

Máme tedy výrok x > 5. Definičním oborem tohoto výroku (D(V)) je množina všech reálných čísel, kdežto oborem pravdivosti je množina čísel od 5 do nekonečna (P(V)). Množina pravdivosti, je tedy podmnožinou definičního oboru.

Další příklad lze vytvořit ze složeného výroku: V: Wikipedista Tomáš je správce. V: Wikipedista Tomáš má práva founder.

Tento výrok je pravdivý, protože říká, že wikipedista Tomáš je správce, nebo má práva founder, tj. D(V) = P(V).

Reference

Související články

• Matematika
• Logika
• Teorie množin
• Konsekvent

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu matematická logika na Wikimedia Commons

Zdroj