Měščerského rovnice

Měščerského rovnice popisuje pohyb soustavy s proměnnou hmotností ve vnějším silovém poli. Samotná rovnice je jistým zobecněním Ciolkovského rovnice a je pojmenována po svém objeviteli Ivanu Vševolodičovi Měščerském.

Jde o diferenciální rovnici běžně uváděnou ve tvaru^[1]

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}-\mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$

kde ${\displaystyle m}$ je hmotnost, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}}$ zrychlení, ${\displaystyle \mathbf {F} _{E}}$ výslednice vnějších sil (typicky sil tíhové a odporové), ${\displaystyle \mathbf {u} }$ je rychlost, s níž jsou přijímány či vypuzovány části hmoty a ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$ je změna hmotnosti tělesa za čas.

Rovnice lze odvodit ze zákonu zachování hybnosti. ^[2]

V čase ${\displaystyle t}$ má těleso o hmotnosti ${\displaystyle m}$ a rychlosti ${\displaystyle \mathbf {v} }$ hybnost ${\displaystyle \mathbf {p} _{r}=m\mathbf {v} }$. Za nějaký malý interval ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ se hmotnost tělesa změní o ${\displaystyle \mathrm {d} m}$. Rychlost této hmoty vůči tělesu v inerciální vztažné soustavě je rovna ${\displaystyle \mathbf {v} -\mathbf {u} }$. Raketa sama je o tuto hmotnost ${\displaystyle \mathrm {d} m}$ lehčí. Zároveň se rychlost rakety zvýší o ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {v} }$ díky 3. Newtonovu pohybovému zákonu. Označme tedy ${\displaystyle \mathbf {p} _{r}}$ hybnost rakety v čase ${\displaystyle t}$ a ${\displaystyle \mathbf {p} _{r}}$ hybnost v čase ${\displaystyle t+\mathrm {d} t}$. Pak můžeme psát ${\displaystyle \mathbf {p} _{r}=m\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {p} _{r}'=(m-\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )+\mathrm {d} m(\mathbf {v} -\mathbf {u} ).}$

Pozn. při roznásobování lze u ${\displaystyle \mathbf {p} _{r}'}$ diferenciální člen 2. řádu ${\displaystyle \mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v} }$ zanedbat, jeho vliv je oproti zbylým členům malý.

Díky 2. Newtonovu zákonu víme, že změna hybnosti za čas je rovna součtu externích sil, tj. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}}$. Změnu hybnosti zde můžeme zapsat jako

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{r}'-\mathbf {p} _{r}}$

Z čehož získáváme výslednou Měščerského rovnici.

• KVASNICA, Jozef; HAVRÁNEK, Antonín; LUKÁČ, Pavel; SPRUŠIL, Boris. Mechanika. 2. vyd. Praha: Academia, 2004. 476 s. ISBN 80-200-1268-0. Kapitola 2. 

• TAYLOR, John R. Classical Mechanics. 1. vyd. New York: University Science Books, 2005. 774 s. ISBN 978-1-891389-22-1. (anglicky) 

Zdroj