Logaritmická rovnice

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu.^[1][2]

Příklad, jak může rovnice vypadat: ${\displaystyle (3-x)\cdot \log x=(2-x)\cdot \log 4}$

Řešení logaritmické rovnice

^[3][4]

Odstraněním logaritmu

1. ${\displaystyle {\frac {1}{7}}\log _{2}(3x-5)=0}$
   1. Podmínkou je, že ${\displaystyle 3x-5>0}$
   2. ${\displaystyle 3x>5}$
   3. ${\displaystyle x>{\frac {5}{3}}}$
2. Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
   ${\displaystyle {\frac {1}{7}}\log _{2}(3x-5)=\log _{2}1}$
3. ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$ napíšeme jako exponent:
   ${\displaystyle \log _{2}(3x-5)^{\frac {1}{7}}\ =\log _{2}1}$
4. Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
   ${\displaystyle (3x-5)^{\frac {1}{7}}\ =1}$
5. Z exponentu ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$ uděláme sedmou odmocninu:
   ${\displaystyle {\sqrt[{7}]{3x-5}}=1}$
6. Celou rovnici umocníme na 7:
   ${\displaystyle 3x-5=1}$
7. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
   ${\displaystyle 3x=1+5}$
8. ${\displaystyle 3x=6}$
9. Celou rovnici vydělíme 3:
   ${\displaystyle x=2}$

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešena logaritmická rovnice.

S pomocí vztahů které platí pro logaritmy

1. ${\displaystyle \log _{a}{\frac {b}{c}}=\log _{a}b-\log _{a}c}$
2. ${\displaystyle \log _{a}b*c=\log _{a}b+\log _{a}c}$
3. ${\displaystyle \log _{a}x^{n}=n*\log _{a}x}$
4. ${\displaystyle a^{\log _{a}x}=x}$
5. ${\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{x}b}{\log _{x}a}}}$ Používá se u logaritmů s různými základy

1. rovnice

1. ${\displaystyle (3-x)\cdot \log 2=(2-x)\cdot \log 4}$

2. Roznásobíme závorky:

${\displaystyle 3\log 2-x\log 2=2\log 4-x\log 4}$

3. členy rovnice s x přesuneme na druhou stranu rovnice

${\displaystyle x\log 4-x\log 2=2\log 4-3\log 2}$

4. Vytkneme x a na pravé straně použijeme vzorec 3.

${\displaystyle x*(\log 4-\log 2)=\log 4^{2}-\log 2^{3}}$

5. převedeme závorku na druhou stranu a použijeme vzorec 1.

${\displaystyle x={\frac {\log {\frac {16}{8}}}{\log {\frac {4}{2}}}}}$

${\displaystyle x={\frac {\log 2}{\log 2}}}$

6. A máme tu řešení

${\displaystyle x=1}$

2. rovnice

1. ${\displaystyle x^{\log x}=100x}$
2. zlogaritmujeme:

   ${\displaystyle \log(x^{\log x})=\log(100x)}$

3. použijeme vztahy 2. a 3.

   ${\displaystyle \log x*\log x=\log 100+\log x}$

4. log 100 = 2 a zavedeme substituci ${\displaystyle \log x=a}$

   ${\displaystyle a^{2}=2+a}$

5. Dostáváme kvadratickou rovnici ${\displaystyle a^{2}-a-2=0}$

${\displaystyle a=2}$

${\displaystyle a=-1}$

1. ${\displaystyle x=10^{2}=100}$
2. ${\displaystyle x=10^{-1}=0{,}1}$

1. Podmínky řešení neovlivní a tím je rovnice vyřešena.

3. rovnice

1. ${\displaystyle x=\log _{2}4-\log _{2}8+\log _{2}16}$
2. Použijeme vzorec 5.

${\displaystyle x={\frac {\log _{2}4}{\log _{2}2}}-{\frac {\log _{2}8}{\log _{2}2}}+{\frac {\log _{2}16}{\log _{2}2}}}$

1. ${\displaystyle x={\frac {2}{1}}-{\frac {3}{1}}+{\frac {4}{1}}}$
2. ${\displaystyle x=3}$

S pomocí kalkulačky

1. ${\displaystyle (3-x)\cdot \log 2=(2-x)\cdot \log 4}$
2. Vynásobíme závorky s logaritmem:
   ${\displaystyle 3\cdot \log 2-x\cdot \log 2=2\cdot \log 4-x\cdot \log 4}$
3. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
   ${\displaystyle -x\cdot \log 2+x\cdot \log 4=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}$
4. Vytkneme x:
   ${\displaystyle x\cdot (-\log 2+\log 4)=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}$
5. Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
   ${\displaystyle x={\frac {-\log 2+\log 4}{2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}}}$
6. ${\displaystyle x={\frac {-\log 2+\log 4}{\log 4^{2}-\log 2^{3}}}}$
7. Vypočítáme na kalkulačce:
   ${\displaystyle x={\frac {-\log 2+\log 4}{\log 16-\log 8}}}$
8. Výsledek je:
   ${\displaystyle x=1}$

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

1. ${\displaystyle (\log _{2}x)^{2}-\log _{2}x-2=0}$
   Poznámka: ${\displaystyle (\log _{2}x)^{2}=\log _{2}^{2}x}$
   1. Podmínkou je, že ${\displaystyle x>0}$
2. Zavedeme substituci ${\displaystyle a=\log _{2}x}$ čili:
   ${\displaystyle a^{2}-a-2=0}$
3. ${\displaystyle (a-2)(a+1)}$
4. Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
   1. ${\displaystyle a_{1}=2}$
   2. ${\displaystyle a_{2}=-1}$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. ${\displaystyle \log _{2}x=2}$
      1. Z pravidla víme, že ${\displaystyle y=\log _{a}x=>a^{y}=x}$ čili:
         ${\displaystyle x=2^{2}}$
      2. ${\displaystyle x=4}$
   2. ${\displaystyle \log _{2}x=-1}$
      1. Z pravidla víme, že ${\displaystyle y=\log _{a}x=>a^{y}=x}$, čili:
         ${\displaystyle x=2^{-1}}$
      2. ${\displaystyle x={\frac {1}{2^{1}}}}$
      3. ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je logaritmická rovnice vyřešena.

Související články

• Logaritmus
• Rovnice
• Lineární rovnice
• Exponenciální rovnice
  • Umocňování
• Substituce (matematika)
• Kvadratická rovnice
• Vytýkání

Reference

Zdroj