Tenzor, jehož komponenty jsou dány Levi-Civitovým symbolem (tenzor kovariantního rozsahu n), se někdy nazývá permutační tenzor. Ve skutečnosti se jedná o pseudotenzor, protože mění znaménko při nepřímé ortogonální transformaci (s jakobiánem −1, tj. rotace složené se zrcadlením). Protože Levi-Civitův symbol je pseudotenzor, výsledek vektorového součinu je pseudovektor a ne vektor.
Levi-Civitův symbol má vztah ke Kroneckerovu delta. Ve třech dimenzích je vztah dán následujícími rovnicemi:
Navíc zřejmě platí, že
.
vždy platí v n dimenzích (sčítáme přes všechny permutace třídy n).
Příklady
1. Determinant matice lze napsat jako
kde každé se sečte přes
Ekvivalentně můžeme napsat
kde nyní každé a každé se sečte přes .
2. Jestliže a jsou vektory v , pak tá komponenta jejich vektorového součinu je rovna
například první komponenta je . Z výše uvedeného výrazu pro vektorový součin je zřejmé, že . Dále jestliže je vektor, podobně jako a , pak trojčlenný skalární součin
Z tohoto výrazu lze vidět, že trojčlenný skalární součin je antisymetrický vzhledem k výměně sousedních argumentů. Například .
3. Předpokládejme, že je vektorové pole definované na nějaké otevřené množině s katézskými souřadnicemi . Pak tá komponenta rotace se rovná
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.