Laurentova řada

Laurentova řada je řada ve tvaru ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$, kde ${\displaystyle (a_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$ je posloupnost komplexních čísel a ${\displaystyle z_{0}\in C}$.

Definice

Řada tvaru

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}=\cdots +{\frac {a_{-2}}{(z-z_{0})^{2}}}+{\frac {a_{-1}}{z-z_{0}}}+a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+\cdots }$

kde ${\displaystyle (a_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$ je posloupnost komplexních čísel a ${\displaystyle z_{0}\in C}$ se nazývá Laurentova řada se středem v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ a koeficienty ${\displaystyle (a_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$.

Řada ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ je pak regulární částí Laurentovy řady a ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ je pak hlavní část Laurentovy řady.

Konvergence

Laurentova řada konverguje v daném bodě ${\displaystyle z_{0}}$ konverguje-li současně v tomto bodě její hlavní i regulární část.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Laurentova řada na Wikimedia Commons

Zdroj