Laméovy koeficienty (křivočaré souřadnice)

Laméovy koeficienty (též Lamého koeficienty^[1]) jsou v matematice výrazy, které udávají vztah mezi i-tým bázovým vektorem ${\displaystyle {\vec {{\boldsymbol {e}}_{i}}}}$ a derivací podle i-té souřadnice ${\displaystyle \partial {\vec {\boldsymbol {x}}}/\partial {q_{i}}}$. Vyskytují se ve vzorcích pro výpočet gradientu, divergence a rotace v jiných než kartézských souřadnicích (např. křivočarých). V případě ortogonálních souřadnic jsou vektory derivace podle souřadnice ${\displaystyle \partial {\vec {\boldsymbol {x}}}/\partial {q_{i}}}$ a gradient souřadnice ${\displaystyle {\vec {\nabla }}q_{i}}$ rovnoběžné a podíl jejich délek je kvadrát odpovídajícího Lamého koeficientu.^[2] Jsou pojmenovány po Gabrielu Laméovi.

Definice

Mějme n-rozměrný afinní prostor ${\displaystyle V}$ (tedy například trojrozměrný euklidovský prostor) a na něm zavedené souřadnice ${\displaystyle q_{i}}$. Dokážeme tedy vyjádřit zobrazení ${\displaystyle X(q_{1},...q_{n})}$, které n-tici souřadnic přiřadí jim odpovídající bod z ${\displaystyle V}$. Je-li toto zobrazení diferencovatelné, Lamého koeficienty ${\displaystyle h_{1}}$ až ${\displaystyle h_{n}}$ definujeme jako:

${\displaystyle h_{i}(q_{1},...q_{n})={\begin{Vmatrix}{\dfrac {\partial X}{\partial q_{i}}}(q_{1},...q_{n})\end{Vmatrix}}}$

Každý Lamého koeficient je tedy vlastně skalární pole. Protože závislost na konkrétních souřadnicích je zřejmá z definice, je zvykem místo ${\displaystyle h_{i}(q_{1},...q_{n})}$ psát pouze ${\displaystyle h_{i}}$.

Protože se bázové vektory ${\displaystyle {\vec {{\boldsymbol {e}}_{i}}}}$ definují jako jednotkové vektory ve směru ${\displaystyle \partial X/\partial {q_{i}}}$, platí:

${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial q_{i}}}={\begin{Vmatrix}{\dfrac {\partial X}{\partial q_{i}}}\end{Vmatrix}}\;{\vec {e_{i}}}=h_{i}{\vec {e_{i}}}}$ ^[2]

Jsou-li souřadnice ${\displaystyle q_{i}}$ navíc ortogonální, tedy platí-li ${\displaystyle {\vec {e_{i}}}\perp {\vec {e_{j}}}}$ pro každé ${\displaystyle i\neq j}$ (zde nám již nestačí afinní prostor, potřebujeme unitární prostor se skalárním součinem), potom navíc platí:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}q_{i}={\frac {1}{h_{i}}}{\vec {e_{i}}},\;\;\;\;\;{\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial q_{i}}}={(h_{i})}^{2}\;{\vec {\nabla }}q_{i}}$ ^[2]

kde ${\displaystyle {\vec {x}}}$ je polohový vektor v kartézských souřadnicích a předpokládáme, že ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}(q_{1},...q_{n})}$ a ${\displaystyle q_{i}=q_{i}({\vec {x}})}$.

Reference

Zdroj