Graf funkce W 0 ( x ) {\displaystyle \color {blue}W_{0}(x)} a W − 1 ( x ) {\displaystyle \color {magenta}W_{-1}(x)} pro reálné argumenty z = R e ( W 0 ( x + i y ) ) {\displaystyle z=\mathrm {Re} (W_{0}(x+i\ y))} reálná část funkce W 0 {\displaystyle W_{0}} z = I m ( W 0 ( x + i y ) ) {\displaystyle z=\mathrm {Im} (W_{0}(x+i\ y))} imaginární část funkce W 0 {\displaystyle W_{0}} z = | W 0 ( x + i y ) | {\displaystyle z=|W_{0}(x+i\ y)|} modul W 0 {\displaystyle W_{0}} Lambertova funkce W je speciální funkce používaná při řešení rovnic , které obsahují neznámou jak v základu, tak v exponentu . Nese jméno švýcarského učence Johanna Heinricha Lamberta . Je definována jako inverzní relace k funkci f ( w ) = w e w , {\displaystyle f(w)=we^{w},} kde w {\displaystyle w} patří do množiny komplexních čísel , a značí se W ( z ) . {\displaystyle W(z).} Pro každé komplexní číslo z {\displaystyle z} tedy platí
z = W ( z ) e W ( z ) . {\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}.}
Protože funkce f {\displaystyle f} není prostá (injektivní) , W ( z ) {\displaystyle W(z)} je vícehodnotová a dá se chápat jako množina jednoznačných funkcí W k ( z ) , {\displaystyle W_{k}(z),} kde k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } je index větve zobrazení. Pro reálné argumenty je nejdůležitější rostoucí funkce W 0 ( z ) {\displaystyle W_{0}(z)} popsaná níže, přičemž pro malé záporné reálné argumenty na intervalu ( − 1 / e , 0 ) {\displaystyle (-1/e,0)} existuje i druhá možnost daná větví W − 1 ( x ) {\displaystyle W_{-1}(x)} , což je klesající funkce.
Vlastnosti
Rovnice x x = z {\displaystyle x^{x}=z} má řešení:
x = ln ( z ) W ( ln z ) = exp W ( ln ( z ) ) . {\displaystyle x={\frac {\ln(z)}{W(\ln z)}}=\exp W(\ln(z)).}
Primitivní funkci k W {\displaystyle W} lze nalézt integrováním substitucí : pokud w = W ( x ) , {\displaystyle w=W(x),} tak x = w e w . {\displaystyle x=we^{w}.} Pak
∫ W ( x ) d x = x ( W ( x ) − 1 + 1 W ( x ) ) + C . {\displaystyle \int W(x)\ dx=x\left(W(x)-1+{\tfrac {1}{W(x)}}\right)+C.}
Derivace funkce W {\displaystyle W} je
d W ( z ) d z = W ( z ) z ( 1 + W ( z ) ) p r o z ≠ − 1 e . {\displaystyle {\frac {dW(z)}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad \mathrm {pro\ } z\neq -{\frac {1}{e}}.}
Důkaz
Derivováním rovnice z = W ( z ) e W ( z ) {\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}} podle z {\displaystyle z} dostaneme
1 = W ( z ) e W ( z ) W ′ ( z ) + W ′ ( z ) e W ( z ) = W ′ ( z ) ( W ( z ) e W ( z ) + e W ( z ) ) , {\displaystyle 1=W(z)e^{W(z)}W'(z)+W'(z)e^{W(z)}=W'(z)\left(W(z)e^{W(z)}+e^{W(z)}\right),}
W ′ ( z ) = 1 z + e W ( z ) = W ( z ) W ( z ) z + W ( z ) e W ( z ) = W ( z ) z ( W ( z ) + 1 ) . {\displaystyle W'(z)={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}={\frac {W(z)}{W(z)z+W(z)e^{W(z)}}}={\frac {W(z)}{z(W(z)+1)}}.}
Aplikace
Funkce W {\displaystyle W} se používá v kombinatorice a při řešení diferenciálních rovnic . Pomocí této funkce lze dále vyřešit mnoho transcendentních rovnic zahrnujících mocninu neznámé, pokud je rovnici možné převést na tvar Y = X e X , {\displaystyle Y=Xe^{X},} což automaticky dává řešení:
Y = X e X ⟺ X = W ( Y ) . {\displaystyle Y=Xe^{X}\;\Longleftrightarrow \;X=W(Y).}
Příklad 1
2 t = 5 t {\displaystyle 2^{t}=5t}
⇒ 5 t = e t ln 2 {\displaystyle \Rightarrow 5t=e^{t\ln 2}}
⇒ 1 5 t = e − t ln 2 {\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{5t}}=e^{-t\ln 2}}
⇒ − ln 2 5 ⏟ Y = − t ln 2 ⏟ X e − t ln 2 ⏞ X {\displaystyle \Rightarrow \underbrace {-{\tfrac {\ln 2}{5}}} _{Y}=\underbrace {-t\ln 2} _{X}e^{\overbrace {-t\ln 2} ^{X}}}
⇒ − t ln 2 ⏟ X = W ( − ln 2 5 ⏟ Y ) {\displaystyle \Rightarrow \underbrace {-t\ln 2} _{X}=W{\Big (}\underbrace {-{\tfrac {\ln 2}{5}}} _{Y}{\Big )}}
⇒ t = − W ( − ln 2 5 ) ln 2 {\displaystyle \Rightarrow t=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)}{\ln 2}}}
Příklad 2
Nekonečné umocňování. Pokud hodnota z z z … {\displaystyle z^{z^{z^{\ldots }}}} je konečná, lze ji vypočítat takto:
c = z z z … , {\displaystyle c=z^{z^{z^{\ldots }}},}
⇒ c = z c . {\displaystyle \Rightarrow c=z^{c}.}
Z toho dostaneme:
c = − W ( − ln z ) ln z . {\displaystyle c=-{\frac {W\left(-\ln z\right)}{\ln z}}.}
Aby se dokázalo, že hodnota z z z … {\displaystyle z^{z^{z^{\ldots }}}} existuje, je potřeba prozkoumat posloupnost
a = ( z , z z , z z z , … ) {\displaystyle a=(z,z^{z},z^{z^{z}},\dots )}
nebo (v rekurzivní formě):
{ a 1 = z a n = z a n − 1 {\displaystyle {\begin{cases}a_{1}=z\\a_{n}=z^{a_{n-1}}\end{cases}}}
a dokázat existenci limity . Pokud limita existuje, pak platí rovnost
lim n → ∞ a n = c . {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=c.}
Příklad 3
Diferenciální rovnice vyjadřující opožděnou reakci
y ′ ( t ) = a y ( t − 1 ) {\displaystyle y'(t)=ay(t-1)}
má charakteristickou rovnici λ = a e − λ , {\displaystyle \lambda =ae^{-\lambda },} takže λ = W k ( a ) , {\displaystyle \lambda =W_{k}(a),} kde k {\displaystyle k} je číslo větve. Pokud a {\displaystyle a} je reálné , stačí vzít v úvahu větev W 0 ( a ) {\displaystyle W_{0}(a)} . Řešení je tedy:
y ( t ) = e W k ( a ) t . {\displaystyle y(t)=e^{W_{k}(a)\,t}.}
Vybrané hodnoty
W 0 ( − π 2 ) {\displaystyle W_{0}(-{\tfrac {\pi }{2}})}
= π 2 i {\displaystyle ={\tfrac {\pi }{2}}i}
W 0 ( − 1 ) {\displaystyle W_{0}(-1)}
≈ − 0,318 13 + 1,337 23 i {\displaystyle \approx -0{,}31813+1{,}33723i}
W 0 ( − 1 e ) {\displaystyle W_{0}(-{\tfrac {1}{e}})}
= − 1 {\displaystyle =-1}
W 0 ( − ln 2 2 ) {\displaystyle W_{0}(-{\tfrac {\ln 2}{2}})}
= − ln 2 {\displaystyle =-\ln 2}
W 0 ( 0 ) {\displaystyle W_{0}(0)}
= 0 {\displaystyle =0}
W 0 ( e ) {\displaystyle W_{0}(e)}
= 1 {\displaystyle =1}
W 0 ( 1 ) {\displaystyle W_{0}(1)}
= Ω ≈ 0,567 14329 {\displaystyle =\Omega \approx 0{,}56714329} (konstanta známá jako omega)
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Funkcja W Lamberta na polské Wikipedii.
Literatura
Oleszkiewicz Krzysztof, Funkcja Lamberta, „Delta”, 2014, ISSN 0137-3005 (polsky)
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu Lambertova W funkce na Wikimedia Commons
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2025-07-31 19:18:40
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Lambertova funkce W )
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.