Kvadratická forma

Kvadratická forma je kvadratická funkce na vektorovém prostoru, zúžení (restrikce) bilineární formy.

Kvadratické formy jsou důležitým matematickým pojmem, vyskytují se například v geometrii kvadrik nebo teorii čísel. Užívají se také ve fyzice a např. jako energie systému.

Definice

Nechť ${\displaystyle \beta :Y\times Y\rightarrow T}$ je bilineární forma na vektorovém prostoru ${\displaystyle Y}$ nad tělesem ${\displaystyle T}$. Pak funkce

${\displaystyle f(\mathbf {h} )=\beta ({\textbf {h}},{\textbf {h}})}$

se nazývá kvadratická forma na ${\displaystyle Y}$.

Základní vlastnosti

Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn.

${\displaystyle f(t{\textbf {h}})=t^{2}f({\textbf {h}})}$

pro všechna ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle {\textbf {h}}\in Y}$.

Nejběžnější kvadratická forma na prostoru s reálným skalárním součinem je kvadrát normy

${\displaystyle f({\textbf {h}})={\textbf {h}}\cdot {\textbf {h}}=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+...+h_{n}^{2}=||{\textbf {h}}||^{2}}$

Kvadratickou formu ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ můžeme v souřadnicích rozepsat jako

${\displaystyle f(\mathbf {h} )=\sum _{i,j=1}^{d}a_{ij}h_{i}h_{j},}$

kde ${\displaystyle a_{ij}}$ jsou prvky čtvercové symetrické matice řádu ${\displaystyle d}$.

Druhy kvadratických forem

Kvadratická forma ${\displaystyle f:Y\rightarrow \mathbb {R} }$ na reálném vektorovém prostoru ${\displaystyle Y}$ se nazývá

1. pozitivně definitní, jestliže ${\displaystyle \forall {\textbf {h}}\in Y,{\textbf {h}}\neq {\textbf {0}}}$ platí ${\displaystyle f({\textbf {h}})>0}$
2. pozitivně semidefinitní, jestliže ${\displaystyle \forall {\textbf {h}}\in Y}$ platí ${\displaystyle f({\textbf {h}})\geq 0}$
3. negativně definitní, jestliže ${\displaystyle \forall {\textbf {h}}\in Y,{\textbf {h}}\neq {\textbf {0}}}$ platí ${\displaystyle f({\textbf {h}})<0}$
4. negativně semidefinitní, jestliže ${\displaystyle \forall {\textbf {h}}\in Y}$ platí ${\displaystyle f({\textbf {h}})\leq 0}$
5. indefinitní, jestliže ${\displaystyle \exists \mathbf {h_{1}} ,\mathbf {h_{2}} \in Y}$ taková, že ${\displaystyle f(\mathbf {h_{1}} )>0}$ a ${\displaystyle f(\mathbf {h_{2}} )<0}$.

Literatura

• HAMHALTER, Jan; TIŠER, Jaroslav. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha: vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01589-0. S. 139. 
• BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 197. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 2003. ISBN 80-246-0421-3. S. 337. 

Související články

• Bilineární forma
• Binární kvadratická forma
• Lineární forma
• Lineární zobrazení
• Multilineární forma

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kvadratická forma na Wikimedia Commons

Zdroj