Kinetická energie při rotaci

Kinetická energie rotujícího tělesa je energie tělesa, které rotuje. Je dána součtem kinetických energií všech jeho částic.

Odvození vzorce

Ze skutečnosti, že energie rotujícího tělesa je dána součtem kinetických energií všech jeho částic (číslujeme horním indexem i), vyplývá, že celková energie tělesa bude

${\displaystyle E_{K}=\sum _{i}E_{K}^{i}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m^{i}(\mathbf {v} ^{i})^{2}}$

Pomůžeme si vyjádřením rychlosti, pro kterou pro těleso rotující kolem počátku platí

${\displaystyle \mathbf {v} ^{i}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} ^{i}}$

kde ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$ je vektor úhlové rychlosti a ${\displaystyle \mathbf {r} ^{i}}$ je polohovým vektorem i-té částice.

Dosadíme a získáme

${\displaystyle E_{K}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m^{i}(\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} ^{i})^{2}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m^{i}\left(\mathbf {\omega } ^{2}(\mathbf {r} ^{i})^{2}-(\mathbf {\omega } \cdot \mathbf {r} ^{i})^{2}\right)}$

Tento výraz lze zapsat i ve složkách a to takto:

${\displaystyle E_{K}=\sum _{i,k,l}{\frac {1}{2}}m^{i}\left(\delta _{kl}(r^{i})^{2}-r_{k}^{i}r_{l}^{i}\right)\omega _{k}\omega _{l}}$

Využijeme-li definice tenzoru momentu setrvačnosti ${\displaystyle I_{kl}}$

${\displaystyle I_{kl}=\sum _{i}m^{i}\left(\delta _{kl}(r^{i})^{2}-r_{k}^{i}r_{l}^{i}\right)}$,

lze pak energii rotujícího tělesa vyjádřit v kompaktním tvaru:

${\displaystyle E_{K}={\frac {1}{2}}\sum _{kl}I_{kl}\,\omega _{k}\omega _{l}}$

Protože je tenzor setrvačnosti symetrický existuje vždy taková soustava souřadnic, ve které je diagonální. Jeho složky na diagonále v této soustavě označme ${\displaystyle J_{x}}$, ${\displaystyle J_{y}}$, ${\displaystyle J_{z}}$, pak tedy platí:

${\displaystyle E_{K}={\frac {1}{2}}(J_{x}\omega _{x}^{2}+J_{y}\omega _{y}^{2}+J_{z}\omega _{z}^{2})}$

Kde ${\displaystyle \omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}}$ jsou složky vektoru úhlové rychlosti v této soustavě.

Často se zajímáme pouze o rotaci vůči pevné ose, tedy ose jejíž poloha se v tělese nemění. V tomto případě definujeme skalární moment setrvačnosti ${\displaystyle J}$ vůči této ose jako

${\displaystyle J=\sum _{kl}I_{kl}n_{k}n_{l}}$,

kde ${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{1},n_{2},n_{3})}$ je jednotkový vektor mířící do směru osy. Tato definice se po dosazení za jednotlivé částice dá zapsat i jako

${\displaystyle J=\sum _{i}m^{i}(s^{i})^{2}}$,

kde ${\displaystyle s^{i}}$ je vzdálenost i-té částice od osy rotace.

Použitím definice ${\displaystyle J}$ má pak výraz pro kinetickou energii velmi jednoduchý tvar

${\displaystyle E_{K}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}}$.

Je tedy zřejmé, že ${\displaystyle J}$ představuje analogii hmotnosti při rotaci kolem pevné osy.

Související články

• Rotace
• Moment setrvačnosti

Zdroj