Interval prostorového charakteru

Časoprostor nebo také prostoročas je fyzikální pojem z teorie relativity sjednocující prostor a čas do jednoho čtyřrozměrného kontinua. Čas hraje roli čtvrtého rozměru a je oproti zbylým třem prostorovým rozměrům význačný (například tím, že se v něm lze pohybovat jen jedním směrem). V obecné teorii relativity je časoprostor obecně zakřivený a má strukturu variety. Projevy zakřivení časoprostoru jsou pozorovány jako gravitace.

V teorii relativity je vnímání času a prostoru odděleně závislé na pozorovateli (na rozdíl od klasické fyziky), časoprostor je na pozorovateli nezávislý, což umožňuje formulaci fyzikálních zákonů tak, aby jejich tvar nezávisel na vztažné soustavě.

Jednotlivé body časoprostoru se nazývají události a matematicky se popisují pomocí čtyřvektorů. Dráhy bodových částic v časoprostoru jsou pak nazývány světočáry. Vícerozměrný objekt vykresluje v časoprostoru světoplochu.

Ve speciální teorii relativity se někdy zapisují složky polohového čtyřvektoru v pořadí první tři souřadnice prostorové a čtvrtá s imaginární jednotkou, tedy (x₁; x₂; x₃; x₄ = ict) , což umožňuje snadný zápis vzdálenosti jako součet čtverců, byť metrika je jen pseudoeuklidovská. Často se však používá pořadí obrácené a s výhradně reálnými souřadnicemi, tedy (x₀ = ct; x₁; x₂; x₃); v obecné teorii relativity se toto pořadí užívá vždy.

Termíny prostoročas a časoprostor označují tentýž pojem. V odborných kruzích se více používá termín prostoročas^[1][2], analogicky jako se například v angličtině používá pojem spacetime, v němčině Raumzeit, ve francouzštině espace-temps.

Vzdálenost mezi dvěma událostmi v prostoročasu se označuje jako prostoročasová vzdálenost (interval).

Prostoročas užívaný ve speciální teorii relativity je čtyřrozměrný, přičemž souřadnice x, y, z představují prostorové souřadnice a časová souřadnice je vyjadřována jako ct, kde c je rychlost světla. Čtveřice souřadnic tvoří čtyřvektor. Všechny souřadnice (prostorové i časová) mají tedy prostorový rozměr (jejich jednotkou jsou metry).

Takto vytvořený čtyřrozměrný prostor je použitelný pouze tehdy, pokud vzdálenost v tomto prostoru je invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci. To vyžaduje, aby vzdálenost mezi dvěma body tohoto prostoru byla definována jiným způsobem, než je obvyklé v euklidovském prostoru.

Doplní-li se časová souřadnice o imaginární jednotku, pak se časová souřadnice vyjádří jako ${\displaystyle \mathrm {i} ct}$, a vzdálenost lze vyjádřit vztahem

${\displaystyle \Delta s^{2}={(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{(z_{2}-z_{1})}^{2}-c^{2}{(t_{2}-t_{1})}^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}$

Veličina ${\displaystyle \Delta s^{2}}$ bývá také označována jako „lineární element“.

Takto definovaný prostoročas má euklidovský charakter označovaný jako Minkowského prostor. Geometrie v Minkowského prostoročase však není euklidovská, ale pseudoeuklidovská.

Z hlediska přechodu od speciální teorie relativity k obecné teorii relativity je však vhodnější formulovat vzdálenost zavedením metrického tenzoru. Vzhledem k tomu, že Minkowského prostor není zakřivený, má metrický tenzor jednoduchý tvar

${\displaystyle \eta _{\iota \kappa }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}=\operatorname {diag} (-1,1,1,1)}$,

kde ${\displaystyle \iota ,\kappa =0,1,2,3}$, přičemž index 0 označuje časovou složku a indexy 1, 2 a 3 označují prostorové komponenty metrického tenzoru.

Místo uvedené metriky se často používá metrický tenzor s rozdílnou signaturou

${\displaystyle \eta _{\iota \kappa }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}$

Skalární součin dvou vektorů ${\displaystyle A^{\iota }}$, ${\displaystyle B^{\iota }}$ pak lze vyjádřit jako ${\displaystyle \eta _{\iota \kappa }A^{\iota }B^{\kappa }}$, kde bylo užito Einsteinovo sumační pravidlo. Výraz pro skalární součin lze použít i pro vyjádření vzdálenosti, tedy

${\displaystyle \Delta s^{2}=\eta _{\iota \kappa }\Delta x^{\iota }\Delta x^{\kappa }}$,

kde ${\displaystyle x^{0}}$ označuje časovou souřadnici a ${\displaystyle x^{i}}$ pro ${\displaystyle i=1,2,3}$ označuje prostorové souřadnice.

Tento postup umožňuje využití prostředků Riemannovy geometrie. Vzhledem k tomu, že vzdálenost je indefinitní, označuje se tato geometrie jako pseudoriemannovská.

Každý bod Minkowského prostoročasu představuje prostoročasovou událost, čímž se vyjadřuje, že se nejedná pouze o prostorový bod, ale o bod prostoru vztahující se k danému časovému okamžiku. Vzdálenost mezi dvěma událostmi se označuje jako prostoročasový interval (vzdálenost).

V obecné teorii relativity se místo Minkowského prostoročasu používá Riemannův prostoročas, který může být obecně zakřivený a metrika je v něm charakterizována symetrickým metrickým tenzorem ${\displaystyle g_{\iota \kappa }}$, který obecně není diagonální. Vzdálenost je pak vyjádřena jako

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\iota \kappa }\mathrm {d} x^{\iota }\mathrm {d} x^{\kappa }}$

Přechod ke speciální teorii relativity lze zajistit položením

${\displaystyle g_{\iota \kappa }=\eta _{\iota \kappa }}$

Vzdálenost pak získá tvar

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\eta _{\iota \kappa }\mathrm {d} x^{\iota }\mathrm {d} x^{\kappa }}$

Prostoročasové vzdálenosti mezi dvěma událostmi lze rozdělit podle toho, zda je možné mezi oběma událostmi předat informaci prostřednictvím signálu šířícího se světelnou nebo podsvětelnou rychlostí.

• Časupodobný interval - též časový nebo časového charakteru. Jedná se o případ, kdy mezi oběma událostmi může být předána informace prostřednictvím signálu, který se šíří podsvětelnou rychlostí, tedy rychlostí nižší než je rychlost světla. V takovémto uspořádání může být například vznik první události příčinou výskytu druhé události apod., takže mezi oběma událostmi existuje příčinná souvislost. Ve zvolené metrice platí ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}<0}$. V metrice s opačnou signaturou bude ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}>0}$.
• Světelný interval - též světelného charakteru nebo také izotropní či nulový. Jedná se o případ, kdy mohou být obě události spojeny pouze prostřednictvím světelného signálu, tzn. signálem šířícím se rychlostí světla ${\displaystyle c}$. Mezi oběma událostmi existuje příčinná souvislost. Bez ohledu na volbu metriky v tomto případě platí ${\displaystyle \Delta s^{2}=0}$.
• Prostorupodobný interval - též prostorového charakteru. Jedná se o případ, kdy mezi oběma událostmi nemůže být předána informace prostřednictvím signálu, který se šíří podsvětelnou nebo světelnou rychlostí. Ve zvolené metrice platí ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}>0}$. V metrice s opačnou signaturou bude ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}<0}$.

Poznámka: To, zda je prostoročasový interval větší nebo menší než nula, je závislé na signatuře zvolené metriky.

Množina událostí, které mají od dané události A nulovou vzdálenost, se označuje světelný kužel. Ten rozděluje prostoročas na tři oblasti: absolutní minulost, absolutní budoucnost a relativní současnost. Absolutní minulostí se označují ty události B, které pro každého pozorovatele leží v minulosti události A, absolutní budoucnost jsou pak události B, které pro každého pozorovatele leží v budoucnosti události A. Relativní současnost je tvořena událostmi B, pro něž existují pozorovatelé, pro které jsou události A a B současné, pro některé jiné patří B do minulosti A, pro ostatní patří B do budoucnosti A.

• Čtyřvektor
• Speciální teorie relativity
• Obecná teorie relativity
• Teorie superstrun
• M-teorie

• Obrázky, zvuky či videa k tématu časoprostor na Wikimedia Commons

Zdroj