Hellyho věta je základní výsledek kombinatorické geometrie. Popisuje způsob, jak se konvexní množiny protínají a jaké podmínky musí systém konvexních množin splňovat, abychom mohli zaručit, že existuje bod, který je obsažen v každé množině ze systému. Poprvé byla objevena Eduardem Hellym v roce 1913.
Znění věty
- Nechť je konečný systém alespoň konvexních množin v . Pokud každých množin z má neprázdný průnik, potom celá má neprázdný průnik.
Důkaz
Označíme a zafixujeme .
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle a použijeme Radonovo lemma.
-
Věta platí triviálně.
-
Definuji .
- Podle indukčního předpokladu věta platí pro , tedy body jsou dobře definované.
- Potom podle Radonova lemmatu lze tyto body rozdělit do množin tak, že .
- Definuji a tvrdím, že :
- Dokážu, že . Nechť libovolně. Potom platí buď nebo . Bez újmy na obecnosti nechť . Potom každý bod z leží v , protože v leží každý bod z kromě . Když tam leží každý bod z , určitě tam leží i jejich konvexní obal, protože je konvexní. Takže a z definice platí . Tedy .
Nekonečná verze
Věta neplatí, pokud je nekonečná. Protipříklad v by byl například : tvoří konvexní otevřené množiny, kde každé dvě mají neprázdný průnik, ale pro každý bod bude existovat .
Platí ovšem podobná věta, když budeme vyžadovat kompaktnost množin:
- Nechť je libovolný systém alespoň kompaktních konvexních množin v . Pokud každých množin z má neprázdný průnik, potom celá má neprázdný průnik.
Toto tvrzení lehce vyplývá z konečné verze. Podle ní každá konečná podmnožina má neprázdný průnik. Je základní vlastností kompaktních množin, že pokud každá její konečná podmnožina má neprázdný průnik, celá množina má neprázdný průnik (princip kompaktnosti).
Literatura
-
HELLY, E. Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1923, s. 175–176. (anglicky) Je zde použita šablona
{{Citation}}
označená jako k „pouze dočasnému použití“..
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-02-20 01:26:39
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Hellyho věta)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.