Hellyho věta

Hellyho věta je základní výsledek kombinatorické geometrie. Popisuje způsob, jak se konvexní množiny protínají a jaké podmínky musí systém konvexních množin splňovat, abychom mohli zaručit, že existuje bod, který je obsažen v každé množině ze systému. Poprvé byla objevena Eduardem Hellym v roce 1913.

Znění věty

• Nechť ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je konečný systém alespoň ${\displaystyle d+1}$ konvexních množin v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Pokud každých ${\displaystyle d+1}$ množin z ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ má neprázdný průnik, potom celá ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ má neprázdný průnik.

• Symbolicky zapsáno:

${\displaystyle \left(\forall {\mathcal {F'}}\subseteq {\mathcal {F}},|{\mathcal {F'}}|=d+1:\bigcap _{M\in {\mathcal {F'}}}M\neq \emptyset \right)\Rightarrow \bigcap _{M\in {\mathcal {F}}}M\neq \emptyset }$

Důkaz

Označíme ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{M_{1},M_{2},\dots ,M_{n}\}}$ a zafixujeme ${\displaystyle d}$. Důkaz provedeme matematickou indukcí podle ${\displaystyle n=|{\mathcal {F}}|}$ a použijeme Radonovo lemma.

${\displaystyle n=d+1:}$ Věta platí triviálně.

${\displaystyle n\geq d+2:}$ Definuji ${\displaystyle x_{i}\in \bigcap _{M\in ({\mathcal {F}}\setminus \{M_{i}\})}M=\bigcap _{j\neq i}M_{j}}$.

Podle indukčního předpokladu věta platí pro ${\displaystyle n-1}$, tedy body ${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$ jsou dobře definované.

Potom podle Radonova lemmatu lze tyto body rozdělit do množin ${\displaystyle A,B\subset X:A\cap B=\emptyset \wedge A\cup B=X}$ tak, že ${\displaystyle \mathrm {conv} (A)\cap \mathrm {conv} (B)\neq \emptyset }$.

Definuji ${\displaystyle z\in \mathrm {conv} (A)\cap \mathrm {conv} (B)}$ a tvrdím, že ${\displaystyle z\in \bigcap _{M\in {\mathcal {F}}}M}$:

Dokážu, že ${\displaystyle \forall i\in \{1,2,\dots ,n\}:z\in M_{i}}$. Nechť ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$ libovolně. Potom platí buď ${\displaystyle x_{i}\notin A}$ nebo ${\displaystyle x_{i}\notin B}$. Bez újmy na obecnosti nechť ${\displaystyle x_{i}\notin A}$. Potom každý bod z ${\displaystyle A}$ leží v ${\displaystyle M_{i}}$, protože v ${\displaystyle M_{i}}$ leží každý bod z ${\displaystyle X}$ kromě ${\displaystyle x_{i}}$. Když tam leží každý bod z ${\displaystyle A}$, určitě tam leží i jejich konvexní obal, protože ${\displaystyle M_{i}}$ je konvexní. Takže ${\displaystyle M_{i}\supseteq \mathrm {conv} (A)}$ a z definice ${\displaystyle z}$ platí ${\displaystyle z\in \mathrm {conv} (A)}$. Tedy ${\displaystyle z\in M_{i}}$.

Nekonečná verze

Věta neplatí, pokud ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je nekonečná. Protipříklad v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ by byl například ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{(0,1/n)\,|\,n\in \mathbb {N} \}}$: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ tvoří konvexní otevřené množiny, kde každé dvě mají neprázdný průnik, ale pro každý bod ${\displaystyle x\in (0,1)}$ bude existovat ${\displaystyle n\in \mathbb {N} :1/n<x}$.

Platí ovšem podobná věta, když budeme vyžadovat kompaktnost množin:

• Nechť ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je libovolný systém alespoň ${\displaystyle d+1}$ kompaktních konvexních množin v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Pokud každých ${\displaystyle d+1}$ množin z ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ má neprázdný průnik, potom celá ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ má neprázdný průnik.

Toto tvrzení lehce vyplývá z konečné verze. Podle ní každá konečná podmnožina ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ má neprázdný průnik. Je základní vlastností kompaktních množin, že pokud každá její konečná podmnožina má neprázdný průnik, celá množina má neprázdný průnik (princip kompaktnosti).

Literatura

• HELLY, E. Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1923, s. 175–176. (anglicky) Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..

Zdroj