Heine-Cantorova věta

V matematice Cantorova–Heineova věta, pojmenována po Georgu Cantorovi a Eduardovi Heineovi, říká, že pokud M je kompaktní metrický prostor, potom každá spojitá funkce

f : M → N,

kde N je metrický prostor, je stejnoměrně spojitá.

Například, pokud f : [a,b] → R je spojitá funkce, pak je taktéž stejnoměrně spojitá.

Předpokládejme, že f je spojitá na kompaktním metrickém prostoru M, avšak není stejnoměrně spojitá. Potom negace výroku

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0}$ takové, že ${\displaystyle d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon }$ pro každé x, y z M

je:

${\displaystyle \exists \varepsilon _{0}>0}$ takové, že ${\displaystyle \forall \delta >0,\ \exists x,y\in M}$ tak, že ${\displaystyle \ d(x,y)<\delta }$ a ${\displaystyle \rho (f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}}$.

kde d a ${\displaystyle \rho }$ jsou metriky metrických prostorů M, respektive N.

Zvolme dvě posloupnosti x_n a y_n takové, že

${\displaystyle d(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}}$ a ${\displaystyle \rho (f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}}$.

Protože M je kompaktní, pak z nich lze vybrat konvergentní podposloupnosti (${\displaystyle x_{n_{k}}}$ konvergující k x₀ a ${\displaystyle y_{n_{k}}}$ k y₀), takové, že

${\displaystyle d(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\Rightarrow \rho (f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}}$

ale protože f je spojitá a ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ a ${\displaystyle y_{n_{k}}}$ konvergují ke stejnému bodu, je poslední důsledek nemožný. Proto musí být nepravdivý předpoklad nestejnoměrnosté spojitosti.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Heine-Cantor theorem na anglické Wikipedii.

• Georg Cantor
• Eduard Heine

Zdroj