Grupový okruh

Grupový okruh je termín z matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh a zároveň modul vytvořený daným způsobem z libovolné dané grupy a okruhu.

Pro zadanou grupu ${\displaystyle G}$ a zadaný okruh ${\displaystyle R}$ je grupový okruh ${\displaystyle R[G]}$ definován takto:

• nosičem ${\displaystyle R[G]}$ je množina všech zobrazení ${\displaystyle f:G\to R}$ s konečným nosičem, přičemž jednotlivá zobrazení se tradičně zapisují jako formální lineární kombinace, tedy v podobě

  ${\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)g,}$ nebo ${\displaystyle \sum _{g\in G}f_{g}g}$.

• součet dvou prvků ${\displaystyle r:G\to R}$ a ${\displaystyle s:G\to R}$ je definován součtem jejich funkčních hodnot, tedy ${\displaystyle x\mapsto r(x)+s(x)}$, respektive tradičním zápisem

  ${\displaystyle r+s=\sum _{g\in G}(r_{g}+s_{g})g}$

• násobení prvku ${\displaystyle r:G\to R}$ skalárem ${\displaystyle \alpha }$ z okruhu ${\displaystyle R}$ je definováno „standardně po složkách“, tedy ${\displaystyle x\mapsto \alpha \cdot r(x)}$, respektive tradičním zápisem

  ${\displaystyle \alpha \cdot r=\sum _{g\in G}(\alpha r_{g})g}$

• okruhové násobení prvků ${\displaystyle r:G\to R}$ a ${\displaystyle s:G\to R}$ je definováno

  ${\displaystyle x\mapsto \sum _{uv=x}r(u)s(v)=\sum _{u\in G}r(u)s(u^{-1}x)}$

• HORÁČEK, Jan. Grupové okruhy v teorii kódů. Praha, 2012. bakalářská práce. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy. Vedoucí práce Jan Žemlička. Dostupné online.

Zdroj