V lineární algebře je Frobeniův skalární součin definován na vektorovém prostoru reálných nebo komplexních matic. Vypočítá se součinem prvků dvou matic po složkách a následným součtem všech dílčích součinů. V komplexním případě je jeden prvek vždy komplexně sdružený. Frobeniův skalární součin lze také vypočítat jako stopu maticového součinu dvou matic, přičemž jedna z matic je transponovaná, případně hermitovsky transponovaná.
Pomocí Frobeniova skalárního součinu se z prostoru matic stane unitární prostor, dokonce Hilbertův prostor. Norma odvozená z Frobeniova skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma. Zobecněním Frobeniova skalárního součinu na nekonečně rozměrné vektorové prostory je Hilbertův-Schmidtův skalární součin. Frobeniův skalární součin se používá mimo jiné v mechanice kontinua při tenzorovém popisu deformace vektorových polí. Je pojmenován po německém matematikovi Ferdinandu Georgu Frobeniovi.
Definice a značení
Frobeniův skalární součin dvou reálných, ne nutně čtvercových, matic a je definován výrazem:
Jinými slovy, Frobeniův skalární součin získáme ze součinů odpovídajících složek obou daných matic a následným součtem všech těchto dílčích součinů. Odpovídá standardnímu skalárnímu součinu, pokud matice chápeme jako vektory dimenze . Frobeniův skalární součin dvou jednosloupcových matic jmenovitě odpovídá standardnímu skalárnímu součinu dvou vektorů.
Frobeniův skalární součin dvou komplexních matic a je dán výrazem:
Pruh značí komplexně sdružené číslo.
Lze se setkat i s definicí používající komplexně sdružená čísla pro prvky první matice, čili
ovšem takto definovaný součin není lineární vůči skalárním násobkům v první složce, ale ve druhé.
Ve fyzice se Frobeniův skalární součin dvou matic a někdy zapisuje .
Vztak k Hadamardovu součinu
Jsou-li a reálné matice, pak je Frobeniův skalární součin součtem prvků Hadamardova součinu.
Jsou-li matice vektorizovány (tj. převedeny na sloupcové vektory, označené ""), pak pro
-
a platí
Odtud plyne přímo .
Frobeniova norma
Frobeniova norma je norma přidružená k Frobeniovu skalárnímu součinu, neboli:
Ukázky
Reálné matice
Frobeniův skalární součin dvou reálných matic typu
-
a
je roven
Komplexní matice
Pro dvě čtvercové komplexní matice řádu
-
a
platí
zatímco
Frobeniův skalární součin matice se sebou samou a součin se sebou samou jsou
-
a .
Vlastnosti
Komplexní Frobeniův skalární součin je seskvilineární forma, neboli lineární v prvním argumentu:
-
a
a také semilineární v druhém argumentu, tedy.
-
a .
Dále je hermitovská forma, neboli
-
,
a také pozitivně definitní:
-
a .
Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z komutativních a distributivních zákonů sčítání a násobení a z pozitivní definitnosti komplexní absolutní hodnoty .
Z komplexního případu bezprostředně plyne reálný případ, protože na se každé číslo shoduje se svým komplexně sdruženým protějškem.
Reprezentace pomocí stopy
Reálný Frobeniův skalární součin má následující reprezentaci pomocí stopy matice
-
,
kde je matice transponovaná k . Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin vztah:
-
,
kde je hermitovská transpozice matice .
Přesun mezi argumenty
Reálný Frobeniův skalární součin má následující vlastnost pro všechny a :
-
.
Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin pro všechny a :
-
.
Obě vlastnosti vyplývají ze zachování stopy vzhledem k cyklickým permutacím součinu matic.
Invariance
Vzhledem ke stopové reprezentaci a vlastnosti posunutí platí následující pro reálný Frobeniův skalární součin dvou matic
-
.
Pro komplexní Frobeniův skalární součin dvou matic platí obdobně následující.
-
.
Vlastnosti Frobeniovy normy
Frobeniova norma je invariantní při unitárních transformacích a platí pro ni Cauchyho-Schwarzova nerovnost.
-
.
Z nerovnosti vyplývá odhad
-
.
V případě reálných matic je hermitovská transpozice nahrazena prostou transpozicí.
Odhad přes singulární hodnoty
Jsou-li singulární hodnoty a singulární hodnoty s , pak pro Frobeniův skalární součin platí odhad
-
,
Uvedený odhad zesiluje Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.[1]
Odkazy
Reference
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Frobenius-Skalarproduct na německé Wikipedii a Frobenius inner product na anglické Wikipedii.
-
↑ Horn, Johnson. [s.l.]: [s.n.] S. 186.
Literatura
Související články
Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-04-22 13:00:20
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Frobeniův skalární součin)
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.