Dynkinův systém

Dynkinův systém, je pojem z teorie míry a teorie pravděpodobnosti, podoborů matematiky. Rozumí se jím systém podmnožin dané množiny, který splňuje tři axiomy o něco slabší než axiomy požadované od používanějších σ-algeber. Sám Jevgenij Borisovič Dynkin, rusko-americký matematik, po kterém jsou pojmenovány, je označoval za λ-systémy.

Definice

Nechť je ${\displaystyle \Omega }$ neprázdná množina a ${\displaystyle D}$ je podmnožina její potenční množiny, tedy množina některých podmnožin ${\displaystyle \Omega }$. Pak je ${\displaystyle D}$ Dynkinův systém, pokud:

1. ${\displaystyle \Omega \in D}$,
2. pokud ${\displaystyle A,B\in D}$ a ${\displaystyle A\subseteq B}$, pak i ${\displaystyle B\setminus A\in D}$ (s množinou a podmnožinou tam patří i jejich rozdíl) a
3. pokud ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$ je posloupnost podmnožin ${\displaystyle D}$ a ${\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}$ pro všechna ${\displaystyle n\geq 1}$, pak ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D}$.

Alternativní definice

Ekvivalentní definice má za stejných předpokladů tyto tři podmínky:

1. ${\displaystyle \Omega \in D}$,
2. pokud ${\displaystyle A\in D}$, pak i ${\displaystyle A^{C}\in D}$ a
3. pokud ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$ je posloupnost podmnožin ${\displaystyle D}$ a ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ pro všechna ${\displaystyle i\neq j}$, pak ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D}$.

Další možnou kombinací podmínek je:^[1]

1. ${\displaystyle \Omega \in D}$,
2. pokud ${\displaystyle A,B\in D}$ a ${\displaystyle A\subseteq B}$, pak i ${\displaystyle B\setminus A\in D}$ a
3. pokud ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$ je posloupnost podmnožin ${\displaystyle D}$ a ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ pro všechna ${\displaystyle i\neq j}$, pak ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Dynkin system na anglické Wikipedii.

Zdroj