Dihedrální grupa

Dihedrální grupa je pojem z algebry, který označuje grupu shodností pravidelného mnohoúhelníka (otočení a osové souměrnosti). Dihedrální grupy patří mezi jednoduché příklady (nekomutativních) konečných grup a hrají důležitou roli v teorii grup, geometrii a chemii.

Vlastnosti

Prvky

Pravidelný n-úhelník má celkem 2n různých shodností, které ho zachovávají: n otočení a n osových souměrností. Ty tvoří prvky dihedrální grupy ${\displaystyle D_{n}}$. Pro lichá n spojují osy souměrností vždy střed strany s protilehlým vrcholem. Pro sudá n prochází polovina os vždy středy dvou protilehlých stran a druhá polovina os spojuje protilehlé vrcholy. V obou případech je shodností dohromady stejně jako vrcholů. Složením dvou osových souměrnosti je rotace o dvojnásobek úhlu, který tyto osy svírají.

Na následující sérii obrázků jsou všechny možné shodnosti osmiúhelníku, v první řadě otočení a v druhé řadě osové souměrnosti (místo označení vrcholů je za účelem identifikace zobrazení použit obrázek stopky):

Grupová operace

Složení dvou shodností pravidelného mnohoúhelníka dává opět shodnost. Toto skládání je grupová operace. Následující Cayleyova tabulka obsahuje všechna možná složení shodností rovnostranného trojúhelníka. R₀ značí neutrální prvek, R₁ a R₂ jsou otočení proti směru hodinových ručiček o 120° a 240° a S₀, S₁ a S₂ jsou osové souměrnosti označené na obrázku vpravo.

	R0	R1	R2	S0	S1	S2
R0	R0	R1	R2	S0	S1	S2
R1	R1	R2	R0	S1	S2	S0
R2	R2	R0	R1	S2	S0	S1
S0	S0	S2	S1	R0	R2	R1
S1	S1	S0	S2	R1	R0	R2
S2	S2	S1	S0	R2	R1	R0

Je vidět, že dihedrální grupa D₄ není komutativní, což platí pro všechny indexy kromě 1 a 2.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu dihedrální grupa na Wikimedia Commons

Zdroj