Burgersova rovnice

Burgersova rovnice je jednou ze základních parciálních diferenciálních rovnic mechaniky tekutin. Objevuje se v mnoha partiích aplikované matematiky, jako je například dynamika plynů a modelování dopravního toku. Rovnice je pojmenována po J. M. Burgersovi (1895–1981). Je ekvivalentní Navierově–Stokesově rovnici pro nestlačitelný tok bez tlakového členu.^[1]

Pro danou rychlost ${\displaystyle u}$ and koeficient vazkosti ${\displaystyle \nu }$ je obecný tvar jednorozměrné Burgersovy rovnice (rovněž známé pod pojmem vazká Burgesova rovnice) tvaru:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$.

Je-li ${\displaystyle \nu =0}$, Burgersova rovnice se stává nevazkou Burgersovou rovnicí:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

což je jeden z typů rovnic, v jejichž řešení se mohou vyskytnout nespojitosti (rázové vlny). Předešlá rovnice je advekční formou Burgersovy rovnice. Konzervativní forma je tvaru:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\big (}u^{2}{\big )}=0.}$

Nevazká Burgersova rovnice je parciální diferenciální rovnicí prvního řádu. Její řešení může být zkonstruováno pomocí metody charakteristik. Tato metoda říká, že pokud je ${\displaystyle X(t)}$ řešením obyčejné diferenciální rovnice

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X(t)}{\mathrm {d} t}}=u[X(t),t],}$

pak

${\displaystyle U(t):=u[X(t),t]}$

je konstantní vzhledem k ${\displaystyle t}$. Tudíž ${\displaystyle [X(t),U(t)]}$ je řešením soustavy obyčených diferenciálních rovnic:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}=U,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=0.}$

Řešení této soustavy je vyjádřeno pomocí počáteční hodnoty výrazem:

${\displaystyle \displaystyle X(t)=X(0)+tU(0),}$

${\displaystyle \displaystyle U(t)=U(0).}$

Při substituci ${\displaystyle X(0)=\eta }$, kdy platí ${\displaystyle U(0)=u[X(0),0]=u(\eta ,0)}$, můžeme zapsat soustavu ve tvaru

${\displaystyle \displaystyle X(t)=\eta +tu(\eta ,0)}$

${\displaystyle \displaystyle U(t)=U(0).}$

Celkově:

${\displaystyle \displaystyle u(\eta ,0)=U(0)=U(t)=u[X(t),t]=u[\eta +tu(\eta ,0),t].}$

Toto je implicitní vztah určující řešení nevazké Burgesovy rovnice za předpokladu, že se jednotlivé charakteristiky vzájemně neprotínají. Pokud k průniku charakteristik dojde, pak neexistuje klasické řešení rovnice.

Vazká Burgersova rovnice může být linearizována Coleovou–Hopfovou transformací ^[2]

${\displaystyle u=-2\nu {\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},}$

z čehož dostáváme rovnici tvaru

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}{\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\Bigr )}=\nu {\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}{\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}{\Bigr )},}$

která může být přepsána jako

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+f(t)\phi ,}$

kde ${\displaystyle f(t)}$ je libovolná funkce. Pokud poslední člen vymizí, obdržíme difuzní rovnici

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}.}$

Můžeme tedy řešit počáteční úlohu:

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln {\Bigl \{}(4\pi \nu t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl [}-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}u(x'',0)\mathrm {d} x''{\Bigr ]}\mathrm {d} x'{\Bigr \}}.}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Burgers' equation na anglické Wikipedii.

• (anglicky) Burgers' Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• (anglicky) Burgers' Equation Archivováno 26. 6. 2010 na Wayback Machine. at NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia.
• (anglicky) Burgers shock-waves and sound in a 2D microfluidic droplets ensemble Phys. Rev. Lett. 103, 114502 (2009).

Zdroj