Besselovy funkce jsou řešení Besselovy rovnice
z 2 d 2 w ( z ) d z 2 + z d w ( z ) d z + ( z 2 − ν 2 ) w ( z ) = 0 {\displaystyle z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}+(z^{2}-\nu ^{2})w(z)=0} pro libovolné reálné číslo ν {\displaystyle \nu } řád Besselovy funkce . Funkce jsou pojmenovány na počest německého matematika a fyzika Friedricha Wilhelma Bessela , který je poprvé popsal.
Cylindrické funkce
Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice
Besselova funkce Není-li ν {\displaystyle \nu } celé číslo , pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako
w ( z ) = c 1 J ν ( z ) + c 2 J − ν ( z ) {\displaystyle w(z)=c_{1}J_{\nu }(z)+c_{2}J_{-\nu }(z)} kde J ν ( z ) {\displaystyle J_{\nu }(z)} J − ν ( z ) {\displaystyle J_{-\nu }(z)} lineárně nezávislé Besselovy funkce a c 1 , c 2 {\displaystyle c_{1},c_{2}} konstanty .
Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu .
Besselova funkce řádu ν {\displaystyle \nu }
J ν ( z ) = ( z 2 ) ν ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! Γ ( ν + k + 1 ) ( z 2 ) 2 k {\displaystyle J_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{{k!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}} kde Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} gama funkce .
Je-li ν = n {\displaystyle \nu =n}
J − n ( z ) = ( − 1 ) n J n ( z ) {\displaystyle J_{-n}(z)={(-1)}^{n}J_{n}(z)} výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.
Pro n = 0 , 1 , 2 , . . . {\displaystyle n=0,1,2,...}
J n ( z ) = 1 π ∫ 0 π cos ( z sin θ − n θ ) d θ {\displaystyle J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(z\sin \theta -n\theta )\mathrm {d} \theta } Platí následující rekurentní vztahy
2 ν J ν ( z ) = z J ν − 1 ( z ) + z J ν + 1 ( z ) {\displaystyle 2\nu J_{\nu }(z)=zJ_{\nu -1}(z)+zJ_{\nu +1}(z)} 2 J ν ′ ( z ) = J ν − 1 ( z ) − J ν + 1 ( z ) {\displaystyle 2J_{\nu }^{\prime }(z)=J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)} z J ν ′ ( z ) = ν J ν ( z ) − z J ν + 1 ( z ) {\displaystyle zJ_{\nu }^{\prime }(z)=\nu J_{\nu }(z)-zJ_{\nu +1}(z)} z J ν ′ ( z ) = − ν J ν ( z ) + z J ν − 1 ( z ) {\displaystyle zJ_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu J_{\nu }(z)+zJ_{\nu -1}(z)}
Neumannova funkce Je-li ν = n {\displaystyle \nu =n} celé číslo , pak J n ( z ) {\displaystyle J_{n}(z)} J − n ( z ) {\displaystyle J_{-n}(z)} lineárně nezávislé . V takovém případě má obecný integrál tvar
w ( z ) = c 1 J n ( z ) + c 2 N n ( z ) {\displaystyle w(z)=c_{1}J_{n}(z)+c_{2}N_{n}(z)} kde N n ( z ) {\displaystyle N_{n}(z)} Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce ), které jsou také řešením Besselovy rovnice.
Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu .
Neumannovy funkce jsou pro celočíselná ν = n {\displaystyle \nu =n}
N n ( z ) = lim ν → n J ν ( z ) cos ν π − J − ν ( z ) sin ν π {\displaystyle N_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}} Pro ν {\displaystyle \nu }
N ν ( z ) = J ν ( z ) cos ν π − J − ν ( z ) sin ν π {\displaystyle N_{\nu }(z)={\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}} Je-li ν = n {\displaystyle \nu =n}
N − n ( z ) = ( − 1 ) n N n ( z ) {\displaystyle N_{-n}(z)={(-1)}^{n}N_{n}(z)} Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah
J ν ( z ) N ν + 1 ( z ) − J ν + 1 ( z ) N ν ( z ) = − 2 π z {\displaystyle J_{\nu }(z)N_{\nu +1}(z)-J_{\nu +1}(z)N_{\nu }(z)=-{\frac {2}{\pi z}}} Platí následující rekurentní vztahy
2 ν N ν ( z ) = z N ν − 1 ( z ) + z N ν + 1 ( z ) {\displaystyle 2\nu N_{\nu }(z)=zN_{\nu -1}(z)+zN_{\nu +1}(z)} 2 N ν ′ ( z ) = N ν − 1 ( z ) − N ν + 1 ( z ) {\displaystyle 2N_{\nu }^{\prime }(z)=N_{\nu -1}(z)-N_{\nu +1}(z)} z N ν ′ ( z ) = ν N ν ( z ) − z N ν + 1 ( z ) {\displaystyle zN_{\nu }^{\prime }(z)=\nu N_{\nu }(z)-zN_{\nu +1}(z)} z N ν ′ ( z ) = − ν N ν ( z ) + z N ν − 1 ( z ) {\displaystyle zN_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu N_{\nu }(z)+zN_{\nu -1}(z)}
Hankelova funkce Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce H ν ( 1 ) ( z ) {\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)} H ν ( 2 ) ( z ) {\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)}
H ν ( 1 ) ( z ) = J ν ( z ) + i N ν ( z ) {\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+\mathrm {i} N_{\nu }(z)} H ν ( 2 ) ( z ) = J ν ( z ) − i N ν ( z ) {\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-\mathrm {i} N_{\nu }(z)}
Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu .
Sférické cylindrické funkce
Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice
z 2 d 2 w ( z ) d z 2 + 2 z d w ( z ) d z + [ z 2 − l ( l + 1 ) ] w ( z ) = 0 {\displaystyle z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+2z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}+\left[z^{2}-l(l+1)\right]w(z)=0} pro celá nezáporná l {\displaystyle l}
Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci
j l ( z ) = π 2 z J l + 1 2 ( z ) {\displaystyle j_{l}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}J_{l+{\frac {1}{2}}}(z)} a sférickou Neumannovu funkci
n l ( z ) = π 2 z N l + 1 2 ( z ) = ( − 1 ) l + 1 π 2 z J − l − 1 2 ( z ) {\displaystyle n_{l}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}N_{l+{\frac {1}{2}}}(z)={(-1)}^{l+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}J_{-l-{\frac {1}{2}}}(z)} kde J n {\displaystyle J_{n}} N n {\displaystyle N_{n}}
Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah
j l ( z ) n l + 1 ( z ) − j l + 1 ( z ) n l ( z ) = − z − 2 {\displaystyle j_{l}(z)n_{l+1}(z)-j_{l+1}(z)n_{l}(z)=-z^{-2}} Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce
h l ( 1 ) ( z ) = j l ( z ) + i n l ( z ) {\displaystyle h_{l}^{(1)}(z)=j_{l}(z)+\mathrm {i} n_{l}(z)} h l ( 2 ) ( z ) = j l ( z ) − i n l ( z ) {\displaystyle h_{l}^{(2)}(z)=j_{l}(z)-\mathrm {i} n_{l}(z)}
Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy
j l ( z ) = ( − z ) l ( d z d z ) l sin z z {\displaystyle j_{l}(z)={(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\sin z}{z}}} n l ( z ) = − ( − z ) l ( d z d z ) l cos z z {\displaystyle n_{l}(z)=-{(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\cos z}{z}}} h l ( 1 ) ( z ) = − i ( − z ) l ( d z d z ) l e i z z {\displaystyle h_{l}^{(1)}(z)=-\mathrm {i} {(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}}{z}}}
Lze ukázat, že platí
j l ( − z ) = ( − 1 ) l j l ( z ) {\displaystyle j_{l}(-z)={(-1)}^{l}j_{l}(z)} n l ( − z ) = ( − 1 ) l + 1 n l ( z ) {\displaystyle n_{l}(-z)={(-1)}^{l+1}n_{l}(z)} h l ( 1 ) ( − z ) = ( − 1 ) l h l ( 2 ) ( z ) {\displaystyle h_{l}^{(1)}(-z)={(-1)}^{l}h_{l}^{(2)}(z)} h l ( 2 ) ( − z ) = ( − 1 ) l h l ( 1 ) ( z ) {\displaystyle h_{l}^{(2)}(-z)={(-1)}^{l}h_{l}^{(1)}(z)}
Modifikovaná Besselova funkce
Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice
z 2 d 2 w ( z ) d z 2 + z d w ( z ) d z − ( z 2 + ν 2 ) w ( z ) = 0 {\displaystyle z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}-(z^{2}+\nu ^{2})w(z)=0}
Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu
Není-li ν {\displaystyle \nu }
w ( z ) = c 1 I ν ( z ) + c 2 I − ν ( z ) {\displaystyle w(z)=c_{1}I_{\nu }(z)+c_{2}I_{-\nu }(z)} kde I ν ( z ) {\displaystyle I_{\nu }(z)} modifikovaná Besselova funkce prvního druhu , která je definována vztahem
I ν ( z ) = ( z 2 ) ν ∑ k = 0 ∞ 1 K ! Γ ( ν + k + 1 ) ( z 2 ) 2 k {\displaystyle I_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{K!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}} Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako
I ν ( z ) = i − ν J ν ( i z ) {\displaystyle I_{\nu }(z)=\mathrm {i} ^{-\nu }J_{\nu }(\mathrm {i} z)}
Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu
Pro celá ν = n {\displaystyle \nu =n}
I − n ( z ) = I n ( z ) {\displaystyle I_{-n}(z)=I_{n}(z)} Pro celá n {\displaystyle n} I n ( z ) {\displaystyle I_{n}(z)} I − n ( z ) {\displaystyle I_{-n}(z)}
w ( z ) = c 1 I n ( z ) + c 2 K n ( z ) {\displaystyle w(z)=c_{1}I_{n}(z)+c_{2}K_{n}(z)} kde K n ( z ) {\displaystyle K_{n}(z)} modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce ).
Pro necelé ν {\displaystyle \nu }
K ν ( z ) = π 2 I − ν ( z ) − I ν ( z ) sin ν π {\displaystyle K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}} Pro celá ν = n {\displaystyle \nu =n}
K n ( z ) = lim ν → n π 2 I − ν ( z ) − I ν ( z ) sin ν π {\displaystyle K_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}}
Fresnelův ohyb světla na hraně
Důležitým příkladem použití Besselových funkcí je Fresnelův ohyb světla na hraně.
Ohyb světla na přímé hraně.monochromatickým světlem dochází při ohybu na hraně ke vzniku ohybových proužků, které jsou rovnoběžné s přímou hranou.intenzity světla .
Související články
Externí odkazy
Literatura Zdroj
Poslední aktualizace obsahu: 2024-03-18 09:18:48
Zdroj: Wikipedia (autoři článku Besselova funkce )
Licence textu: CC-BY-SA-3.0 Unported
Tento článek byl automaticky přejat z Wikipedie. Na obrázcích nebyly provedeny žádné změny. Obrázky se zobrazují ve zmenšené velikosti (jako miniatury). Kliknutím na obrázek získáte další informace o autorovi a licenci. Byly změněny prvky designu, odstraněny některé odkazy specifické pro Wikipedii (např. odkazy na Editaci a nebo na neexistující hesla) a provedena optimalizace pro rychlé načítání.
![{\displaystyle z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+2z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}+\left[z^{2}-l(l+1)\right]w(z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671a88aa0cccfc287df38f154016d095e9a80855)
